十四、程序员常用10 种算法
14.1、二分查找算法(非递归)
14.1.1、二分查找算法(非递归)介绍
1) 前面我们讲过了二分查找算法，是使用递归的方式，下面我们讲解二分查找算法的非递归方式
2) 二分查找法只适用于从有序的数列中进行查找(比如数字和字母等)，将数列排序后再进行查找
3) 二分查找法的运行时间为对数时间 O(㏒₂n) ，即查找到需要的目标位置最多只需要㏒₂n 步，假设从[0,99]的队列(100 个数，即 n=100)中寻到目标数 30，则需要查找步数为㏒₂100 , 即最多需要查找7 次( 2^6 <100<2^7)
14.1.2、二分查找算法(非递归)代码实现
数组 {1,3, 8, 10, 11, 67, 100}, 编程实现二分查找， 要求使用非递归的方式完成
1) 思路分析：
- 1、收起确定该数组中间的下标 ，即mid = (left + right) /2
- 2、然后让需要查找的书findVal 和arr [mid] 比较
- 2.1、findVal > arr[mid]，说明你要查找的数在mid 的右边
- 2.2、findVal < arr[mid]，说明要查找的数在mid的左边
- 2.3、findVal == arr[mid] 说明找到，就返回
2) 代码实现：
/**
* description
* 二分查找算法的非递归方式实现
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月11日 16:49
*/
public class BinarySearchRecursion {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 3, 8, 10, 11, 67, 100};
int index = binarySearch(arr, 8);
System.out.println(index);
}
/**
* 二分查找算法的非递归方式实现
*
* @param arr 待查找的数组
* @param target 需要查找的数
* @return 找到返回对应下标，没找到返回-1即可
*/
public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
int left = 0;
int right = arr.length - 1;
while (left <= right) { //说明可以继续查找
int mid = (left + right) / 2;
if (arr[mid] == target) {
return mid;
} else if (arr[mid] > target) {
right = mid - 1; //需要向左边查找
} else if (arr[mid] < target) {
left = mid + 1; //向右边查找
}
}
return -1;
}
}
14.2、分治算法
14.2.1、分治算法介绍
1) 分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
2) 分治算法可以求解的一些经典问题
二分搜索
大整数乘法
- 棋盘覆盖
- 合并排序
- 快速排序
- 线性时间选择
- 最接近点对问题
- 循环赛日程表
- 汉诺塔
14.2.2 、分治算法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
1) 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
2) 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
3) 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
14.2.3、分治(Divide-and-Conquer(P))算法设计模式如下：
14.2.4、分治算法最佳实践-汉诺塔
汉诺塔的传说 汉诺塔：
汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着 64 片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
假如每秒钟一次，共需多长时间呢？移完这些金片需要 5845.54 亿年以上，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了 5845.54 亿年，地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭
汉诺塔游戏的演示和思路分析:
- 1) 如果是有一个盘， A->C
- 如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的盘 2. 上面的盘
- 2) 先把 最上面的盘 A->B
- 3) 把最下边的盘 A->C
- 4) 把 B 塔的所有盘 从 B->C
汉诺塔游戏的代码实现：
/**
* description
* 汉洛塔问题——使用分治算法实现
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月11日 17:47
*/
public class GlottalTower {
public static void main(String[] args) {
glottalTower(2,'A','B','C');
}
/**
* 汉洛塔移动的方法——分治算法解决
*
* @param num 盘子的数量
* @param a 柱子A
* @param b 柱子B
* @param c 柱子C
*/
public static void glottalTower(int num, char a, char b, char c) {
//如果只有一个盘，直接移到柱子C即可
if (num == 1) {
System.out.println("第1个盘子从" + a + "->" + c);
} else {
//如果盘子的数量满足公式n >=2的情况下，我们可以把看成是两个盘子，分别是最上面的一个盘子和下面的所有盘子
glottalTower(num - 1, a, c, b); //先把最上面的所有盘子从A->B，移动过程会使用到C
System.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c); //把最下边的盘从A->C
glottalTower(num - 1, b, a, c); //把B塔的所有盘从B->C，移动过程使用到了A
}
}
}
14.3、动态规划算法
14.3.1、应用场景-背包问题
背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品
1) 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2) 要求装入的物品不能重复
14.3.2 、动态规划算法介绍
1) 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2) 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3) 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
4) 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解
14.3.3 、动态规划算法最佳实践-背包问题解决
思路分析和图解
1）背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
2）这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包
3）算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0
(2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量, // 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值
当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
4) 图解的分析
14.3.4、动态规划-背包问题的代码实现
/**
* description
* 使用动态规划算法解决背包问题
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月12日 15:50
*/
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
int[] w = {1, 4, 3}; //物品的重量
int[] value = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值
int m = 4; //背包的容量
int n = value.length; //物品的个数
//创建二维数组，v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
//为了记录放入商品的情况，定义一个二维数组
int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
//初始化第一行和第一列
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0; //将第一列初始化为0
}
for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
v[0][i] = 0; //将第一行初始化为0
}
//根据全面得到的公式来动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { //不处理第一列
if (w[i - 1] > j) { //因为程序中的i是从1开始的，因此原来公式中的w[i]修改成w[i-1]
v[i][j] = v[i - 1][j];
//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接使用公式，需要用if-else来体现
} else if (v[i - 1][j] < value[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
//说明：因为我们的i是从1开始的，因此公式需要调整成以下形式
v[i][j] = value[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
//把当前的情况记录到path
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
//输出一下二维数组v查看目前情况
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("==============================");
//输出最后放入的是哪些商品
int i = path.length - 1; //行的最大下标
int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
while (i > 0 && j > 0) { //从path的最后开始找
if (path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
j -= w[i - 1];
}
i--;
}
}
}
14.4 、KMP 算法
14.4.1、应用场景-字符串匹配问题
字符串匹配问题：
1) 有一个字符串 str1= ""硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好""，和一个子串str2="尚硅谷你尚硅你"
2) 现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1
14.4.2、暴力匹配算法
如果用暴力匹配的思路，并假设现在 str1 匹配到 i 位置，子串 str2 匹配到 j 位置，则有:
- 1) 如果当前字符匹配成功（即 str1[i] == str2[j]），则 i++，j++，继续匹配下一个字符
- 2) 如果失配（即 str1[i]! = str2[j]），令 i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为0。
- 3) 用暴力方法解决的话就会有大量的回溯，每次只移动一位，若是不匹配，移动到下一位接着判断，浪费了大量的时间。(不可行!)
- 4) 暴力匹配算法实现.
- 5) 代码实现如下
/**
* description
* 字符串匹配问题——暴力解法
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月12日 17:12
*/
public class ViolenceMatch {
public static void main(String[] args) {
//测试暴力匹配算法
String str1 = "硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好";
String str2 = "尚硅谷你尚硅你";
int index = violenceMatch(str1, str2);
System.out.println("index=" + index);
}
/**
* 暴力匹配解决字符串匹配问题
*
* @param str1 第一个字符串，和字符串二进行匹配
* @param str2 第二个字符串，与字符串一进行匹配
* @return 若匹配则返回第一次出现的位置，不匹配则返回-1
*/
public static int violenceMatch(String str1, String str2) {
char[] s1 = str1.toCharArray(); //将字符串一转成字符数组
char[] s2 = str2.toCharArray(); //将字符串二转成字符数组
int s1Length = s1.length; //得到字符数组s1的长度
int s2Length = s2.length; //得到字符数组s2的长度
//需要两个索引 i 和j分别指向s1和s2，初始化为0
int i = 0;
int j = 0;
while (i < s1Length && j < s2Length) { //保证匹配时，索引不越界
if (s1[i] == s2[j]) { //匹配成功
i++; //索引后移
j++;
} else { //没有匹配成功
//如果没匹配(即str[i]！=str2[j])，令i = i - (j-1)，j=0.
i = i - (j - 1);
j = 0;
}
}
//判断是否匹配成功
if (j == s2Length) {
return i - j;
} else {
return -1;
}
}
}
14.4.3 、KMP 算法介绍
1) KMP 是一个解决模式串在文本串是否出现过，如果出现过，最早出现的位置的经典算法
2) Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP 算法”，常用于在一个文本串S 内查找一个模式串P的出现位置，这个算法由 Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于 1977 年联合发表，故取这3人的姓氏命名此算法.
3) KMP 方法算法就利用之前判断过信息，通过一个 next 数组，保存模式串中前后最长公共子序列的长度，每次回溯时，通过 next 数组找到，前面匹配过的位置，省去了大量的计算时间
字符串匹配问题：
- 1) 有一个字符串 str1= "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，和一个子串 str2="ABCDABD"
- 2) 现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1
- 3) 要求：使用 KMP 算法完成判断，不能使用简单的暴力匹配算法
思路分析图解
举例来说，有一个字符串 Str1 = “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，判断，里面是否包含另一个字符串Str2=“ABCDABD”？
1、首先，用 Str1 的第一个字符和 Str2 的第一个字符去比较，不符合，关键词向后移动一位
2、重复第一步，还是不符合，再后移
3、一直重复，直到 Str1 有一个字符与 Str2 的第一个字符符合为止
4、接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是符合。
5、遇到 Str1 有一个字符与 Str2 对应的字符不符合
6.这时候，想到的是继续遍历 Str1 的下一个字符，重复第 1 步。(其实是很不明智的，因为此时BCD已经比较过了，没有必要再做重复的工作，一个基本事实是，当空格与 D 不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。KMP 算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。)
7.怎么做到把刚刚重复的步骤省略掉？可以对 Str2 计算出一张《部分匹配表》
8.已知空格与 D 不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为 2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数： 移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值 因为 6 - 2 等于 4，所以将搜索词向后移动 4 位。
9.因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为 2（”AB”），对应的”部分匹配值”为 0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移 2 位。
10.因为空格与 A 不匹配，继续后移一位
11.逐位比较，直到发现 C 与 D 不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4 位
12.逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动 7 位，这里就不再重复了
13.介绍《部分匹配表》怎么产生的 先介绍前缀，后缀是什么
“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例，
－”A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为 0；
－”AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为 0；
－”ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度 0；
－”ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为 0；
－”ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为1；
－”ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为 2； －”ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为 0。
14.”部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是 2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动4 位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。
14.4.4、KMP算法解决字符串问题——代码实现
/**
* description
* 使用KMP算法解决字符串匹配问题
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月12日 22:32
*/
public class KMPAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";
String str2 = "ABCDABD";
int[] next = kmpNext("ABCDABD");
System.out.println("next=" + Arrays.toString(next));
int index = kmpSearch(str1, str2, next);
System.out.println("index=" + index);
}
/**
* 写出我们的kmp搜索算法
*
* @param str1 原字符串
* @param str2 字串
* @param next 部分匹配表，字串对应的部分匹配表
* @return 如果是-1就是没有匹配到，否则返回第一个匹配的位置
*/
public static int kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) {
//遍历
for (int i = 0, j = 0; i < str1.length(); i++) {
//需要从str1.charAt(i) != str2.charAt(j)的情况KMP算法的核心点
while (j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) {
j = next[j - 1];
}
if (str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) {
j++;
}
if (j == str2.length()) { //找到了
return i - j + 1;
}
}
return -1;
}
/**
* 获取到一个字符串(字串)的部分匹配值表
*
* @param dest 字符串(字串)的部分匹配值表
* @return 匹配值表
*/
public static int[] kmpNext(String dest) {
//创建一个next数组保存部分匹配值
int[] next = new int[dest.length()];
next[0] = 0; //如果字符串长度为1部分匹配值就是0
for (int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) {
//当dest.charAt(i) != dest.charAt(j)满足时，我们需要从next[j-1]获取新的j
//直到我们发现有dest.charAt(i) == dest.charAt(j)才退出
while (j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) {
j = next[j - 1];
}
//当dest.charAt(i) == dest.charAt(j)满足时，部分匹配值就是要+1
if (dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) {
j++;
}
next[i] = j;
}
return next;
}
}
14.5 、贪心算法
14.5.1、应用场景-集合覆盖问题
假设存在下面需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号
14.5.2 、贪心算法介绍
1) 贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择，从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法
2) 贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果
14.5.3、 贪心算法最佳应用-集合覆盖
1) 假设存在如下表的需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号
2) 思路分析:
- 如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢，使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合，这被称为幂集。假设总的有 n 个广播台，则广播台的组合总共有 2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算 10 个子集， 如图:
使用贪婪算法，效率高:
1) 目前并没有算法可以快速计算得到准备的值， 使用贪婪算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高。选择策略上，因为需要覆盖全部地区的最小集合:
2) 遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区，但没有关系）
3) 将这个电台加入到一个集合中(比如 ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
4) 重复第 1 步直到覆盖了全部的地区
3) 代码实现
/**
* description
* 使用贪心算法解决集合覆盖问题
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月13日 10:35
*/
public class GreedyAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//创建广播电台，放入Map中
HashMap<String, HashSet<String>> broadcasts = new HashMap<>();
//将各个电台放入到broadcasts
HashSet<String> hashSet1 = new HashSet<>();
hashSet1.add("北京");
hashSet1.add("上海");
hashSet1.add("天津");
HashSet<String> hashSet2 = new HashSet<>();
hashSet2.add("广州");
hashSet2.add("北京");
hashSet2.add("深圳");
HashSet<String> hashSet3 = new HashSet<>();
hashSet3.add("成都");
hashSet3.add("上海");
hashSet3.add("杭州");
HashSet<String> hashSet4 = new HashSet<>();
hashSet4.add("上海");
hashSet4.add("天津");
HashSet<String> hashSet5 = new HashSet<>();
hashSet5.add("杭州");
hashSet5.add("大连");
//加入到map
broadcasts.put("K1", hashSet1);
broadcasts.put("K2", hashSet2);
broadcasts.put("K3", hashSet3);
broadcasts.put("K4", hashSet4);
broadcasts.put("K5", hashSet5);
//创建一个allAreas，将电台都放入到此集合中
HashSet<String> allAreas = new HashSet<>();
for (String s :broadcasts.keySet()){
allAreas.addAll(broadcasts.get(s));
}
//创建ArrayList，存放选择的电台集合
ArrayList<String> selects = new ArrayList<>();
//定义一个临时的集合，用于保存遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖地区的交集
HashSet<String> tempSet = new HashSet<>();
//定义一个maxKey，保存在一次遍历过程中，能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key
//如果maxKey不为空，则会加入到selects
String maxKey = null;
while (allAreas.size()!= 0) { //如果allAreas不为0 则表示还没有覆盖到所有的地区
//每进行一次while循环需要将maxKey置空
maxKey = null;
//遍历broadcasts,取出对应的key
for (String key : broadcasts.keySet()) {
//每进行一次for循环都要把tempSet清空
tempSet.clear();
//表示当前key能够覆盖的地区
HashSet<String> areas = broadcasts.get(key);
tempSet.addAll(areas);
//求出tempSet和 allAreas 集合的交集，交集会赋给tempSet
tempSet.retainAll(allAreas);
//如果当前这个集合包含 未覆盖的区域数量比maxKey指向的集合的地区还多，就需要重置maxKey
if (tempSet.size() > 0 &&
(maxKey == null || tempSet.size() > broadcasts.get(maxKey).size())) {
maxKey = key;
}
}
//maxKey !=null,就应该将maxKey加入到selects
if (maxKey != null) {
selects.add(maxKey);
//将maxKey指向的广播电台覆盖的地区，从allAreas去掉
allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));
}
}
System.out.println("得到的选择结果=" + selects);
}
}
14.5.4 、贪心算法注意事项和细节
1) 贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果
2) 比如上题的算法选出的是 K1, K2, K3, K5，符合覆盖了全部的地区
3) 但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区，如果 K2 的使用成本低于 K1,那么我们上题的K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件，但是并不是最优的
14.6、 普里姆算法
14.6.1、应用场景-修路问题
看一个应用场景和问题：
1) 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
3) 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短? 思路: 将 10 条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.
正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.
14.6.2 、最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
1) N 个顶点，一定有 N-1 条边
2) 包含全部顶点
3) N-1 条边都在图中
4) 举例说明(如图:)
5) 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
14.6.3 、普里姆算法介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图 普利姆的算法如下：
1) 设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合
2) 若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点v 的visited[u]=1
3) 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1
4) 重复步骤②，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边
5) 提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
6) 图解普利姆算法
14.6.4、普利姆算法的最佳实践——修路问题
1) 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
3) 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
4)代码实现：
/**
* description
* 使用邻接矩阵创建图
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月13日 14:33
*/
public class MGraph {
int vertx; //表示图的节点个数
char[] data; //用于存放节点数据
int[][] weight; //用于存放边，就是我们的邻接矩阵
//构造器，用于初始化矩阵图中的各个属性
public MGraph(int vertx) {
this.vertx = vertx;
data = new char[vertx];
weight = new int[vertx][vertx];
}
}
/**
* description
* 创建最小生成树-->即村庄的图
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月13日 14:37
*/
public class MinTree {
/**
* 创建图的邻接矩阵
*
* @param mGraph 传入的图对象
* @param vertx 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph mGraph, int vertx, char[] data, int[][] weight) {
for (int i = 0; i < vertx; i++) { //遍历顶点
mGraph.data[i] = data[i];
for (int j = 0; j < vertx; j++) {
//初始化邻接矩阵
mGraph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
/**
* 显示图的邻接矩阵
*
* @param mGraph 图的对象
*/
public void showGraph(MGraph mGraph) {
for (int[] link : mGraph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 编写Prim算法，得到最小生成树
*
* @param mGraph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成
*/
public void prim(MGraph mGraph, int v) {
//visited这个数组标记顶点是否被访问过
int[] visited = new int[mGraph.vertx];
//把当前这个节点标记为已访问
visited[v] = 1;
//用h1和h2记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000; //将minWeight初始化成一个较大值，后面再遍历过程中会被替换
for (int k = 1; k < mGraph.vertx; k++) {//因为有mGraph.vertx个顶点，普利姆算法结束有mGraph.vertx-1条边
//在确定每次生成的子图和哪一个节点和这一次遍历的节点距离最近
for (int i = 0; i < mGraph.vertx; i++) { //i节点表示被访问过的顶点
for (int j = 0; j < mGraph.vertx; j++) { //j节点表示没有被访问过的顶点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && mGraph.weight[i][j] < minWeight) {
//替换minWeight位置(寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间权值最小的边)
minWeight = mGraph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//找到了一条边最小
System.out.println("边<" + mGraph.data[h1] + "," + mGraph.data[h2] + "> 权值：" + minWeight);
//将当前找到的节点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
//minWeight重新设置为最大值10000
minWeight = 10000;
}
}
}
/**
* description
* 使用普利姆算法解决修路问题
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月13日 14:27
*/
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试图是否创建成功
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int vertx = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000表示较大的数，表示两个点不连通
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};
//创建一个MGraph对象
MGraph mGraph = new MGraph(vertx);
//创建一个最小生成树对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(mGraph,vertx,data,weight);
//输出
minTree.showGraph(mGraph);
//测试普利姆算法
minTree.prim(mGraph,0);
}
}
14.7、克鲁斯卡尔算法
14.7.1、 应用场景-公交站问题
看一个应用场景和问题：
1) 某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通
2) 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
3) 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
14.7.2、 克鲁斯卡尔算法介绍
1) 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
2) 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路
3) 具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
14.7.3、 克鲁斯卡尔算法图解说明
以城市公交站问题来图解说明 克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：
在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1 条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图 G4 所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
以上图 G4 为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组 R 保存最小生成树结果)。
克 鲁 斯 卡 尔 算 法 图 解
第 1 步：将边加入 R 中。 边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 2 步：将边加入 R 中。 上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 3 步：将边加入 R 中。 上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 4 步：将边加入 R 中。 上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果 R 中。
第 5 步：将边加入 R 中。 上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 6 步：将边加入 R 中。 上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果 R 中
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： 。
克 鲁 斯 卡 尔 算 法 分 析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如 何 判 断 是 否 构 成 回 路 -举 例说明(如图)
在将 加入到最小生成树 R 中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C 的终点是 F。
(02) D 的终点是 F。
(03) E 的终点是 F。
(04) F 的终点是 F。
关于终点的说明：
1) 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2) 因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是 C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。
14.7.4、克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题
看一个公交站问题：
1) 有北京有新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通
2) 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
3) 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
4) 代码实现和注解
/**
* description
* 边类，它的对象实例就表示一条边
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月13日 17:17
*/
public class EData {
char start; //边的一个点
char end; //边的另外一个点
int weight; //边的权值
//构造器，用于初始化属性
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
//重写toString方法，便于输出边的信息
@Override
public String toString() {
return "EData{" +
"start=" + start +
", end=" + end +
", weight=" + weight +
'}';
}
}
/**
* description
* 使用克鲁斯卡尔算法解决——公交站问题
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月13日 16:26
*/
public class KruskalCase {
private int edgeNum; //用于记录边的个数
private char[] vertex; //顶点数组的集合
private int[][] matrix; //邻接矩阵
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; //使用INF这个变量来表示两个顶点不能连通
public static void main(String[] args) {
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int[][] matrix = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
//创建一个KruskalCase的对象实例
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertex, matrix);
//输出构建的矩阵图是否正确
kruskalCase.point();
kruskalCase.kruskal();
}
//构造器，用于初始化属性
public KruskalCase(char[] vertex, int[][] matrix) {
//初始化顶点数和边的个数
int vLength = vertex.length;
//使用拷贝的方式初始化顶点
this.vertex = new char[vLength];
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
this.vertex[i] = vertex[i];
}
//使用拷贝的方式初始化边
this.matrix = new int[vLength][vLength];
for (int i = 0; i < vLength; i++) {
for (int j = 0; j < vLength; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
//统计边的条数
for (int i = 0; i < vLength; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void kruskal() {
int index = 0; //表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组，保存最后的最小生成树
EData[] result = new EData[edgeNum];
//获取图中所有的边的集合，一共有12条边
EData[] edges = getEdges();
//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges);
//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时,判断准备加入的边是否形成回路，如果没有加入result，否则不能加入
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
int p1 = getPosition(edges[i].start);
//获取到第i条边的第二个顶点(终点)
int p2 = getPosition(edges[i].end);
//获取p1这个顶点在已有的最小生成树中终点是哪一个
int m = getEnd(ends, p1);
//获取p2这个顶点在已有的最小生成树中终点是哪一个
int n = getEnd(ends, p2);
//判断是否构成回路
if (m != n) { //没有构成回路
ends[m] = n; //设置m在"已有最小生成树"中的终点
result[index++] = edges[i]; //有一条边加入到result数组
}
}
//统计并打印最小生成树,输出result[]
System.out.println("最小生成树为");
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(result[i]);
}
}
//打印邻接矩阵的方法
public void point() {
System.out.println("邻接矩阵为:\n");
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertex.length; j++) {
System.out.printf("%10d ", matrix[i][j]);
}
System.out.println(); //换行
}
}
/**
* 对边进行排序处理，使用冒泡排序
*
* @param edges 边的集合
*/
private void sortEdges(EData[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) { //交换
EData tmp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = tmp;
}
}
}
}
/**
* 根据一个顶点返回对应的下标的方法
*
* @param ch 顶点的值，比如'A'、'B'
* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
*/
private int getPosition(char ch) {
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
if (vertex[i] == ch) { //找到
return i;
}
}
//如果找不到返回-1即可
return -1;
}
/**
* 功能：获取图中的边，放到EData[]中，需要遍历该数组
* 是通过matrix 邻接矩阵来获取；存放形式：EData[] [['A','B',12],['B','F',7]......]
*
* @return 创建好的边
*/
public EData[] getEdges() {
int index = 0;
EData[] edges = new EData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new EData(vertex[i], vertex[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
* 获取下标为i的顶点的终点，用于判断两个顶点的终点是否相同
*
* @param ends 记录了各个顶点对应的重点是哪个，ends这个数组是在遍历过程中逐步形成的
* @param i 表示传入的顶点对应的下标
* @return 返回的是下标为i的这个顶点对应的终点的下标
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
}
14.8、 迪杰斯特拉算法
14.8.1、应用场景-最短路径问题
看一个应用场景和问题：
1) 战争时期，胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从 G 点出发，需要分别把邮件分别送到A, B, C , D, E, F 六个村庄
2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
3) 问：如何计算出 G 村庄到 其它各个村庄的最短距离? 4) 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
14.8.2 、杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。
14.8.3、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程
1) 设置出发顶点为 v，顶点集合 V{v1,v2,vi...}，v 到 V 中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di...}，Dis集合记录着 v 到图中各顶点的距离(到自身可以看作 0，v 到 vi 距离对应为 di)
2) 从 Dis 中选择值最小的 di 并移出 Dis 集合，同时移出 V 集合中对应的顶点 vi，此时的v 到vi 即为最短路径
3) 更新 Dis 集合，更新规则为：比较 v 到 V 集合中顶点的距离值，与 v 通过 vi 到 V 集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为 vi，表明是通过 vi 到达的)
4) 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束
14.8.4、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用-最短路径
1) 战争时期，胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从 G 点出发，需要分别把邮件分别送到A, B, C , D, E, F 六个村庄
2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
3) 问：如何计算出 G 村庄到 其它各个村庄的最短距离?
4) 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
5) 使用图解的方式分析了迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 思路
6) 代码实现
/**
* description
* 创建算法所需要的图
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月14日 9:54
*/
public class Graph {
private char[] vertex; //存放顶点的数组
private int[][] matrix; //邻接矩阵
private VisitedVertex vv; //表示已经访问的顶点的集合
//构造器，用于初始化顶点和邻接矩阵
public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
this.vertex = vertex;
this.matrix = matrix;
}
//显示结果
public void showDijkstra(){
vv.show();
}
//显示图的方法
public void showGraph() {
for (int[] link : matrix) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 迪杰斯拉算法实现
*
* @param index 表示出发顶点对应的下标
*/
public void dsj(int index) {
vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
update(index); //更新index下标顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {
index = vv.updateArr(); //选择并返回新的访问顶点
update(index); //更新index到周围顶点的距离和前驱节点
}
}
/**
* 更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点
*
* @param index 索引
*/
private void update(int index) {
int len = 0;
//根据遍历我们的邻接矩阵的matrix[index]行
for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {
//出发顶点到index顶点的距离加上index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和
len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
//如果j这个顶点没有被访问，并且len小于出发顶点到j这个顶点的距离，就需要更新
if (!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) {
vv.updatePre(j, index); //更新j顶点的前驱为index这个顶点
vv.updateDis(j, len); //更新出发顶点j顶点的距离
}
}
}
}
/**
* description
* 已访问顶点集合
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月14日 10:03
*/
public class VisitedVertex {
//记录各个顶点是否访问过，1表示访问过，0表示未访问，会动态更新
public int[] already_arr;
//每个下标对应的值前一个顶点下标，会动态更新
public int[] pre_visited;
//记录出发顶点到其他所有顶点的距离，比如G为出发顶点，就好记录G到其他顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dis
public int[] dis;
/**
* 构造器，用于初始化对象属性
*
* @param length 表示顶点的个数
* @param index 出发顶点对应的下标，表示从哪个顶点开始处理
*/
public VisitedVertex(int length, int index) {
this.already_arr = new int[length];
this.pre_visited = new int[length];
this.dis = new int[length];
//初始化dis[]
Arrays.fill(dis, 65535);
this.already_arr[index] = 1; //设置出发顶点被访问过
this.dis[index] = 0; //设置出发顶点的访问距离为0
}
/**
* 功能：判断index顶点是否被访问过
*
* @param index 顶点对应的下标
* @return 如果访问过，就返回true，否则返回false
*/
public boolean in(int index) {
return already_arr[index] == 1;
}
/**
* 功能：更新出发顶点到index这个顶点的距离
*
* @param index 需要被更新的顶点
* @param len 需要被更新的对应值
*/
public void updateDis(int index, int len) {
dis[index] = len;
}
/**
* 功能：更新pre这个顶点的前驱顶点为index的节点
*
* @param pre 下标为pre的前驱顶点
* @param index 索引
*/
public void updatePre(int pre, int index) {
pre_visited[pre] = index;
}
/**
* 功能：返回出发顶点到index这个顶点的距离
*
* @param index 参照顶点
* @return 返回出发顶点到index这个顶点的距离
*/
public int getDis(int index) {
return dis[index];
}
/**
* 继续选择并返回新的访问顶点，比如这里的G 完后，就是A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)
*
* @return 返回新的访问顶点的下标
*/
public int updateArr() {
int min = 65535;
int index = 0;
for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {
min = dis[i];
index = i;
}
}
//更新index这个顶点被访问过
already_arr[index] = 1;
return index;
}
//显示最后的结果,即将三个数组的输出情况
public void show() {
System.out.println("==========================");
//输出already_arr
for (int i : already_arr) {
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
//输出pre_visited
for (int i : pre_visited) {
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
//输出dis
for (int i : dis) {
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
//为了方便显示最后的最短距离，处理一下数据
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int count = 0;
for (int i : dis) {
if (i != 65535) {
System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ")");
} else {
System.out.println("N");
}
count++;
}
System.out.println();
}
}
/**
* description
* 使用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月14日 9:53
*/
public class DijkstraAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//邻接矩阵
int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
final int N = 65535; //表示不可连接
matrix[0]=new int[]{N,5,7,N,N,N,2};
matrix[1]=new int[]{5,N,N,9,N,N,3};
matrix[2]=new int[]{7,N,N,N,8,N,N};
matrix[3]=new int[]{N,9,N,N,N,4,N};
matrix[4]=new int[]{N,N,8,N,N,5,4};
matrix[5]=new int[]{N,N,N,4,5,N,6};
matrix[6]=new int[]{2,3,N,N,4,6,N};
//创建Graph（图对象）
Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
//测试，查看图的邻接矩阵是否正常显示
graph.showGraph();
//测试迪杰斯拉算法
graph.dsj(6);
graph.showDijkstra();
}
}
14.9 、弗洛伊德算法
14.9.1、弗洛伊德(Floyd)算法介绍
1) 和 Dijkstra 算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978 年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名
2) 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
3) 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
4) 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径
14.9.2、弗洛伊德(Floyd)算法图解分析
1) 设置顶点 vi 到顶点 vk 的最短路径已知为 Lik，顶点 vk 到 vj 的最短路径已知为 Lkj，顶点vi 到vj 的路径为Lij，则 vi 到 vj 的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk 的取值为图中所有顶点，则可获得vi 到vj 的最短路径
2) 至于 vi 到 vk 的最短路径 Lik 或者 vk 到 vj 的最短路径 Lkj，是以同样的方式获得
3) 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析-举例说明
示例：求最短路径为例说明
弗洛伊德算法的步骤： 第一轮循环中，以 A(下标为：0)作为中间顶点【即把 A 作为中间顶点的所有情况都进行遍历, 就会得到更新距离表和前驱关系】，距离表和前驱关系更新为：
分析如下：
1) 以 A 顶点作为中间顶点是，B->A->C 的距离由 N->9，同理 C 到 B；C->A->G 的距离由 N->12，同理G 到C
2) 更换中间顶点，循环执行操作，直到所有顶点都作为中间顶点更新后，计算结束
中间顶点 [A, B, C, D, E, F, G]
出发顶点 [A, B, C, D, E, F, G]
终点 [A, B, C, D, E, F, G]
14.9.3 、弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径
1) 胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G)
2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
3) 问：如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离?
4) 代码实现
/**
* description
* 创建弗洛伊德算法对应的图
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月14日 14:52
*/
public class Graph {
private char[] vertex; //用于存放顶点
private int[][] dis; //保存从各个顶点出发到其他顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组中
private int[][] pre; //保存到达目标顶点的前驱顶点
/**
* 构造器，用于初始化对象属性
*
* @param length 大小
* @param matrix 邻接矩阵
* @param vertex 顶点数组
*/
public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
this.vertex = vertex;
this.dis = matrix;
this.pre = new int[length][length];
//对pre数组初始化,存放的是前驱节点的下标，并不是直接存放顶点
for (int i = 0; i < length; i++) {
Arrays.fill(pre[i], i);
}
}
//显示pre数组和dis数组
public void show() {
//为了增加可读性，我们优化一下输出
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
//先将pre数组输出一行
for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");
}
System.out.println();
//输出dis数组的一行数据
for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路径是" + dis[k][i] + ") ");
}
System.out.println();
}
}
//弗洛伊德算法
public void floyd() {
int len = 0; //用于保存距离
//对中间顶点的遍历，k就是中间顶点的下标[A ,B ,C ,D ,E ,F ,G]
for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
//从i顶点开始出发[A ,B ,C ,D ,E ,F ,G]
for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
//到达j顶点
for (int j = 0; j < dis.length; j++) {
//求出从i顶点出发，经过k这个中间顶点到达j这个顶点的距离
len = dis[i][k] + dis[k][j];
if (len < dis[i][j]) { //如果len小于dis[i][j]直连距离
dis[i][j] = len; //更新距离
pre[i][j] = pre[k][j]; //更新前驱顶点
}
}
}
}
}
}
/**
* description
* 弗洛伊德解决最短路径问题
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月14日 14:48
*/
public class FloydAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试图是否创建成功
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//创建邻接矩阵
int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
final int N = 65535;
matrix[0] = new int[]{0, 5, 7, N, N, N, 2};
matrix[1] = new int[]{5, 0, N, 9, N, N, 3};
matrix[2] = new int[]{7, N, 0, N, 8, N, N};
matrix[3] = new int[]{N, 9, N, 0, N, 4, N};
matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, 0, 5, 4};
matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, 0, 6};
matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, 0};
//创建一个图对象
Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
//调用弗洛伊德算法
graph.floyd();
graph.show();
}
}
14.10、马踏棋盘算法
14.10.1 、马踏棋盘算法介绍和游戏演示
1) 马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题
2) 将马随机放在国际象棋的 8×8 棋盘 Board[0～7][0～7]的某个方格中，马按走棋规则(马走日字)进行移动。要求每个方格只进入一次，走遍棋盘上全部 64 个方格
14.10.2、马踏棋盘游戏代码实现
1) 马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是图的深度优先搜索(DFS)的应用。
2) 如果使用回溯（就是深度优先搜索）来解决，假如马儿踏了 53 个点，如图：走到了第53 个，坐标（1,0），发现已经走到尽头，没办法，那就只能回退了，查看其他的路径，就在棋盘上不停的回溯……，思路分析+代码实现
- 对第一种实现方式的思路图解
4) 使用前面的游戏来验证算法是否正确
5) 代码实现
/**
* description
* 使用回溯算法解决马踏棋盘问题
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月14日 16:10
*/
public class HoseChessboard {
private static int X; //表示棋盘的列数
private static int Y; //棋盘的行数
//创建一个数组，标记棋盘的各个位置是否被访问
private static boolean[] visited;
//使用一个属性标记棋盘的所有位置是否都被访问过了
private static boolean finished; //如果为ture，表示成功
public static void main(String[] args) {
//测试骑士周游算法是否正确
X = 8;
Y = 8;
int row = 1; //马儿走的初始位置的行，从1开始编号
int column = 1; //马儿走的初始位置的列，也从1开始编号
//创建棋盘
int[][] chessboard = new int[X][Y];
visited = new boolean[X * Y]; //初始值都是false
//测试一下耗时
long start = System.currentTimeMillis();
traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("共耗时：" + (end - start) + " 毫秒");
//输出棋盘的最后情况
for (int[] rows : chessboard){
for (int step:rows){
System.out.print(step + "\t");
}
System.out.println();
}
}
/**
* 完成骑士周游问题的算法
*
* @param chessboard 棋盘
* @param row 马儿当前的位置的行，从0开始
* @param column 马儿当前位置的列，从0开始
* @param step 是第几步，初始位置就是第一步
*/
public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {
//先把行和列标记为当前这一步走的
chessboard[row][column] = step;
//再把当前位置标记成已经访问过的
visited[row * X + column] = true;
//获取当前位置可以的下一个位置的集合
ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));
//遍历ps
while (!ps.isEmpty()) {
Point p = ps.remove(0); //取出下一个可以走的位置
//判断该点是否已经访问过了
if (!visited[p.y * X + p.x]) { //说明还没有访问过
traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);
}
}
//判断马儿是否完成了任务，使用step和应该走的步数比较，如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置0
if (step < X * Y && !finished) {
chessboard[row][column] = 0;
//棋盘到目前位置，仍然没有走完
visited[row * X + column] = false;
} else {
//棋盘处于一个回溯过程
finished = true;
}
}
/**
* 功能：根据当前位置(Point对象），计算马儿还能走哪些位置(Point)
* 并放入到一个集合中(ArrayList），最多有八个位置
*
* @param curPoint 当前这个点
*/
public static ArrayList<Point> next(Point curPoint) {
//创建一个ArrayList
ArrayList<Point> ps = new ArrayList<>();
//创建一个Point
Point p1 = new Point();
//表示马儿可以是否走5这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走6这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走7这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走0这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走1这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走2这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走3这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走4这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
return ps;
}
}
14.10.3、使用贪心算法对马踏棋盘进行优化
思路分析：
代码实现：
/**
* description
* 使用回溯算法解决马踏棋盘问题
*
* @author xujicheng
* @since 2022年12月14日 16:10
*/
public class HoseChessboard {
private static int X; //表示棋盘的列数
private static int Y; //棋盘的行数
//创建一个数组，标记棋盘的各个位置是否被访问
private static boolean[] visited;
//使用一个属性标记棋盘的所有位置是否都被访问过了
private static boolean finished; //如果为ture，表示成功
public static void main(String[] args) {
//测试骑士周游算法是否正确
X = 8;
Y = 8;
int row = 1; //马儿走的初始位置的行，从1开始编号
int column = 1; //马儿走的初始位置的列，也从1开始编号
//创建棋盘
int[][] chessboard = new int[X][Y];
visited = new boolean[X * Y]; //初始值都是false
//测试一下耗时
long start = System.currentTimeMillis();
traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("共耗时：" + (end - start) + " 毫秒");
//输出棋盘的最后情况
for (int[] rows : chessboard) {
for (int step : rows) {
System.out.print(step + "\t");
}
System.out.println();
}
}
/**
* 完成骑士周游问题的算法
*
* @param chessboard 棋盘
* @param row 马儿当前的位置的行，从0开始
* @param column 马儿当前位置的列，从0开始
* @param step 是第几步，初始位置就是第一步
*/
public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {
//先把行和列标记为当前这一步走的
chessboard[row][column] = step;
//再把当前位置标记成已经访问过的
visited[row * X + column] = true;
//获取当前位置可以的下一个位置的集合
ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));
//对ps进行排序，排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步的位置的数目，进行非递减排序
sort(ps);
//遍历ps
while (!ps.isEmpty()) {
Point p = ps.remove(0); //取出下一个可以走的位置
//判断该点是否已经访问过了
if (!visited[p.y * X + p.x]) { //说明还没有访问过
traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);
}
}
//判断马儿是否完成了任务，使用step和应该走的步数比较，如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置0
if (step < X * Y && !finished) {
chessboard[row][column] = 0;
//棋盘到目前位置，仍然没有走完
visited[row * X + column] = false;
} else {
//棋盘处于一个回溯过程
finished = true;
}
}
/**
* 功能：根据当前位置(Point对象），计算马儿还能走哪些位置(Point)
* 并放入到一个集合中(ArrayList），最多有八个位置
*
* @param curPoint 当前这个点
*/
public static ArrayList<Point> next(Point curPoint) {
//创建一个ArrayList
ArrayList<Point> ps = new ArrayList<>();
//创建一个Point
Point p1 = new Point();
//表示马儿可以是否走5这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走6这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走7这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走0这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走1这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走2这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走3这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿是否可以走4这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {
ps.add(new Point(p1));
}
return ps;
}
//根据当前这一步的所有的下一步的选择位置，进行非递减排序
public static void sort(ArrayList<Point> ps) {
ps.sort(new Comparator<Point>() {
@Override
public int compare(Point o1, Point o2) {
//获取到o1的下一步的所有位置个数
int count = next(o1).size();
//获取到o2的下一步的所有位置个数
int count2 = next(o2).size();
if (count < count2) {
return -1;
} else if (count == count2) {
return 0;
} else {
return 1;
}
}
});
}
}
至此算法完结，持续刷题！！！！
