树（tree）是包含n（n>0）个结点的有穷集，其中：
1.每个元素称为结点（node）；
2.有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）。
3.除根结点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）。
树也可以这样定义：
树是由根结点和若干颗子树构成的。树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的。集合中的元素称为树的结点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的结点之间建立了一个层次结构。在这种层次结构中有一个结点具有特殊的地位，这个结点称为该树的根结点，或称为树根。
我们可以形式地给出树的递归定义如下:
单个结点是一棵树，树根就是该结点本身。
设T1,T2,..,Tk是树，它们的根结点分别为n1,n2,..,nk。用一个新结点n作为n1,n2,..,nk的父亲，则得到一棵新树，结点n就是新树的根。我们称n1,n2,..,nk为一组兄弟结点，它们都是结点n的子结点。我们还称T1,T2,..,Tk为结点n的子树。
空集合也是树，称为空树。空树中没有结点。
那么常见树的种类有：满二叉树，完全二叉树,二叉树,红黑树,无序树，哈夫曼树等等。今天我们主要是来了解二叉树
1、每个节点最多有两个子节点的树形结构
2、其中起始节点叫做根节点,除了根节点之外，每个节点有且只有一个父节点
3、没有任何子节点的节点 叫做叶子节点，除了叶子节点之外，每个节点都可以有两个子节点
4、除了根节点和叶子节点之外，剩下的节点叫枝节点,枝节点有父节点也有子节点
5、二叉树中每层节点均达到最大值，并且除了叶子节点之外每个节点都有两个子节点，叫做满二叉树
6、二叉树中除了最后一层之外，每层节点数均达到最大值，并且最后一层的节点连续集中在左边，叫完全二叉树
对于二叉树的处理采用递归的方法：(以下是伪代码)
处理(二叉树) { if(二叉树为空) 直接处理; else { 处理根节点; 处理左子树;=> 递归 处理右子树;=> 递归 } }
二叉树的存储结构
1.顺序存储结构
从上到下，从左到右，依次存储每个节点
2.链式存储结构
每个节点中除了存储数据元素本身之外，还需要两指针
如：
typedef struct Node { int data;//数据内容 struct Node* left;//指向左子树 struct Node* right;//指向右子树 }Node;
遍历方式
(1)先序遍历 => 根 左子树 右子树
(2)中序遍历 => 左子树 根 右子树
(3)后序遍历 => 左子树 右子树 根
有序二叉树
左子树节点 <= 根节点 <= 右子树节点
主要搜索和查找数据的功能中
接下来我们来看看二叉树的各类操作的实现:
//实现有序二叉树的各种操作 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> //定义节点的数据类型 typedef struct Node { int data;//存储数据内容 struct Node* left;//左子树的地址 struct Node* right;//右子树的地址 }Node; //定义有序二叉树的数据类型 typedef struct { Node* root;//记录根节点的地址 int cnt;//记录节点的个数 }Tree; //实现向有序二叉树中插入新节点的操作 void insert_data(Tree* pt,int data); //插入新节点的递归函数 void insert(Node** pRoot,Node* pn); //采用中序遍历方法进行遍历 void travel_data(Tree* pt); //遍历的递归函数 void travel(Node* pRoot); //实现创建新节点 Node* create_node(int data); //实现清空树中的所有节点 void clear_data(Tree* pt); //实现清空的递归函数 void clear(Node** pRoot); //实现查找一个指定的节点 Node** find_data(Tree* pt,int data); //查找的递归函数 Node** find(Node** pRoot,int data); //实现删除指定的节点 void del_data(Tree* pt,int data); //修改指定元素的操作 void modify(Tree* pt,int data,int new_data); //判断二叉树是否为空 int empty(Tree* pt); //判断二叉树是否为满 int full(Tree* pt); //计算二叉树中节点的个数 int size(Tree* pt); //获取根节点的元素值 int get_root(Tree* pt); int main(void) { //创建有序二叉树，并且进行初始化 Tree tree; tree.root = NULL; tree.cnt = 0; //插入新节点，进行遍历 insert_data(&tree,50); travel_data(&tree);//50 insert_data(&tree,70); travel_data(&tree);//50 70 insert_data(&tree,20); travel_data(&tree);//20 50 70 insert_data(&tree,60); travel_data(&tree);//20 50 60 70 printf("------------------\n"); //clear_data(&tree); travel_data(&tree);//20 50 60 70 del_data(&tree,50); travel_data(&tree);//20 60 70 del_data(&tree,30);//删除失败 travel_data(&tree);//20 60 70 del_data(&tree,20); travel_data(&tree);//60 70 printf("--------------------\n"); modify(&tree,10,20);//插入20 travel_data(&tree);//20 60 70 printf("二叉树中根节点的元素是：%d\n",get_root(&tree));//70 printf("二叉树中节点的个数是：%d\n",size(&tree));//3 printf("%s\n",empty(&tree)?"二叉树为空":"二叉树不为空"); printf("%s\n",full(&tree)?"二叉树已满":"二叉树没有满"); return 0; } //修改指定元素的操作 //旧元素不存在时，直接插入新元素即可 void modify(Tree* pt,int data,int new_data) { //1.删除旧元素 del_data(pt,data); //2.插入新元素 insert_data(pt,new_data); } //判断二叉树是否为空 int empty(Tree* pt) { return NULL == pt->root; } //判断二叉树是否为满 int full(Tree* pt) { return 0; } //计算二叉树中节点的个数 int size(Tree* pt) { return pt->cnt; } //获取根节点的元素值 int get_root(Tree* pt) { if(empty(pt)) { return -1;//表示失败(以后讲到) } return pt->root->data; } //实现删除指定的节点 void del_data(Tree* pt,int data) { //1.查找目标元素所在节点的地址 Node** pp = find_data(pt,data); //2.判断查找失败情况,不需要删除 if(NULL == *pp) { printf("目标元素不存在，删除失败\n"); return; } //3.合并左右子树,左子树插入到右子树中 if((*pp)->left != NULL) { //左子树不为空时，需要插入到右子树中 insert(&(*pp)->right,(*pp)->left); } //4.寻找指针记录要删除的节点地址 Node* q = *pp; //5.将原来指向要删除节点的指针 重新指向 合并之后的右子树 *pp = (*pp)->right; //6.删除目标元素所在的节点 free(q); q = NULL; //7.节点个数减1 pt->cnt--; } //查找的递归函数 Node** find(Node** pRoot,int data) { //1.判断二叉树是否为空，为空直接返回 if(NULL == *pRoot) { return pRoot;//&pt->root; } //2.比较根节点元素和目标元素的大小，如果相等，直接返回 if(data == (*pRoot)->data) { return pRoot;//&pt->root; } //3.若目标元素小于根节点元素值,左子树查找 else if(data < (*pRoot)->data) { return find(&(*pRoot)->left,data); } //4.若目标元素大于根节点元素,去右子树查找 else { return find(&(*pRoot)->right,data); } } //实现查找一个指定的节点 //返回 指向目标元素所在节点的指针 的地址 Node** find_data(Tree* pt,int data) { //调用递归函数实现查找 return find(&pt->root,data); } //实现清空的递归函数 void clear(Node** pRoot) { //判断二叉树是否为空 if(*pRoot != NULL) { //1.清空左子树 clear(&(*pRoot)->left); //2.清空右子树 clear(&(*pRoot)->right); //3.清空根节点 free(*pRoot); *pRoot = NULL; } } //实现清空树中的所有节点 void clear_data(Tree* pt) { //调用递归函数实现清空 clear(&pt->root); //二叉树的节点个数清零 pt->cnt = 0; } //实现创建新节点 Node* create_node(int data) { Node* pn = (Node*)malloc(sizeof(Node)); pn->data = data; pn->left = NULL; pn->right = NULL; return pn; } //遍历的递归函数 void travel(Node* pRoot) { //判断二叉树不为空时才需要遍历 if(pRoot != NULL) { //1.遍历左子树 travel(pRoot->left); //2.遍历根节点 printf("%d ",pRoot->data); //3.遍历右子树 travel(pRoot->right); } } //采用中序遍历方法进行遍历 void travel_data(Tree* pt) { //调用递归函数进行遍历 travel(pt->root); //打印换行 printf("\n"); } //插入新节点的递归函数 void insert(Node** pRoot,Node* pn) { //1.判断二叉树是否为空,如果为空则让根节点指针直接指向新节点 if(NULL == *pRoot) { *pRoot = pn; return; } //2.如果二叉树非空,比较根节点和新节点大小 //2.1 如果根节点大于新节点，插入左子树 if((*pRoot)->data > pn->data) { insert(&(*pRoot)->left,pn); } //2.2 如果根节点小于等于新节点,插入右子树 else { insert(&(*pRoot)->right,pn); } } //实现向有序二叉树中插入新节点的操作 void insert_data(Tree* pt,int data) { //1.创建新节点，进行初始化 create_node //Node* pn = (Node*)malloc(sizeof(Node)); //pn->data = data; //pn->left = NULL; //pn->right = NULL; //2.插入新节点到二叉树中,调用递归函数 insert(&pt->root,create_node(data)); //3.二叉树中节点个数加1 pt->cnt++; }
运行结果：
