3.2.2 引例2 – 种植方案问题

4 多目标规划模型的适用场景

同时存在多个最大化或是最小化的目标函数，并且，这些目标函数并不是相互独立的，也不是相互和谐融洽的，它们之间会存在或多或少的冲突，使得不能同时满足所有的目标函数。

适用场景：基于问题所构建的优化目标函数不唯一，且目标函数之间存在冲突。如，金融投资领域，要求风险更小，收益更大。

5 多目标规划模型的一般形式

$$\begin{array}{l}
\min F(x)=\left(f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{m}(x)\right)
\\
S.t. \quad x \in \Omega 
\end{array}$$
$x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$
$\Omega$
$F(x)$
$\Omega=\left\{x \in R^{n} \mid g_{i}(x) \leq 0, i=1,2, \cdots, p\right\}$

6 多目标规划模型的求解方法

多目标优化模型的算法大体上分为两类方法：

（1）传统的数学规划方法

（2）智能优化方法

传统的处理多目标优化问题的方法包括：

（1）主要目标法

（2）分层序列法

（3）加权法

（4）约束法

（5）目标规划法

（6）极小极大法

（6）理想点法

（7）……

其特点是通过各种方式将多目标优化问题转化为单目标优化问题，然后用单目标优化方法求解。

下面介绍四种传统数学规划方法，再介绍一种智能优化算法。

6.1 传统的数学规划方法

由于传统的数学规划方法较麻烦，且求解过程较慢、较繁琐，所以这里只放置方法的截图。

由于传统的数学规划方法是将多目标规划问题转换为单目标规划问题进行求解，所以每次使用传统的数学规划方法求出的最优解只是多目标规划问题解集中的一个解。因此，使用传统的数学规划方法求解多目标规划问题，需要进行多次求解。

6.1.1 主要目标法

6.1.2 分层序列法

6.1.3 加权法

加权法的局限性：

加权法适合于

图像为(即图像不存在非凸部分的最优值)：

的最值求解。

不适合于

图像为(图像非凸部分的最优值)：

的最值求解。

6.1.4 理想点法

理想点法可以求解非凸部分的最优值。

6.1.5 传统数学规划方法的缺陷

1. 每次运行只产生一个解，求多个解时需要运行多次，效率较低；
2. 多次运行也无法得到均匀分布的Pareto最优解集；
3. 有些方法对Pareto前沿比较敏感，当Pareto前沿是凹的或者不连续时，这些方法失效；
4. 要求目标和约束函数的可微性。