1、子空间的定义
空间本质是一个集合，子空间的概念就是空间的一个子集，通常在线性代数领域讨论的都是向量空间的子空间（vector subspace）。
具体定义如为:假设$V$是一个向量空间，如果$S$是$V$的子集，$\color {red} { \small且S还是一个向量空间}$，则称$S$是$V$的一个子空间。
示例:
- 所有2阶方阵，形成一个向量空间$V$。若存在特殊形式的2阶矩阵$\begin{bmatrix} a&0 \\ 0&b \end{bmatrix}$，也形成一个向量空间$S$。则空间$S$是空间$V$的一个子空间。
- 然而对于所有形式为$\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&b \end{bmatrix}$的矩阵，虽然这些矩阵构成的集合是空间$V$的一个子集，但是这些形式的元素之间不满足空间$V$所定义的加法运算，这些元素不能构成向量空间，所以它们形成的空间不是空间$V$的子空间。
在一个空间中判断一个子集是非常容易的，但是同时要判断一个子集是一个向量空间是一个难点，才能成为子空间。根据前章判断一个空间是不是向量空间，关键是验证对于空间内的任意元素之间，是否满足向量的十条性质。
【子空间的定义换句话可以这样理解: 假设$V$是一个向量空间，如果$S$是$V$的子集，$\color {red} { \small 且S满足加法和数量乘法封闭这两条性质}$，则称$S$是$V$的一个子空间】。这其实对于一个向量空间的子空间$S$来说，当子空间满足了向量定义的两条核心性质(加法和数量乘法)，就相当于满足了向量定义的十条性质中的八条，在这个基础上，对剩下的两条性质还可以基于已知性质进行进一步证明。
关于子空间$S$的零向量$O$的一点理解。对于结论$\vec u + O = \vec u$，在一个欧几里得空间$R^{n}$里来看显然很容易理解，因为这个有序实数元组空间内零向量就是一个有序实数元组$O = (0,0,0, \cdots,0)$，这样一个全零的有序实数元组显然是满足$\vec u + O = \vec u$。但是对于一般的向量空间来说，不是特殊的欧几里得空间，在这些更一般的向量空间内的零向量的定义方式就是"空间内存在零向量$O$属于向量空间，使得$\vec u + O = \vec u$"，但并没有说明零向量是什么。
基于向量空间内数量乘的定义，如果$\vec u$属于$V$，$k$是一个实数，则$k \vec u $属于$V$，那么其中$k$可以是一个实数$0$，就有$0 \cdot \vec u = O $，那么我们可以通过$0 \cdot \vec u = O $的形式来表示出零向量。
2、欧几里得空间的子空间
对于一个欧几里得空间$R^{n}$，它的零向量就是一个全为$0$的有序实数元组$O = (0,0,0, \cdots,0)$，也是一个$n$维空间的坐标原点。对于在这个空间中的任意一个向量$\vec u$，一定存在它的反向量$- \vec u$。
在一个二维欧几里得空间$R^{2}$中，存在它的子空间$S$，则$S$在这个二维平面上的存在形式为过原点的一条直线$L$，即这条过原点的直线就是二维空间的子空间。 直线$L$本质是一个向量的集合，所有落在直线$L$上的点所对应的向量(如$
\vec w$)都存在于这条直线所表示的子空间$S$中，在这条直线所形成的子空间中包含了原来空间中的零向量，和存在空间内任意向量的反向量，所有的元素满足对加法和数量乘法的封闭。
$\color {red} {\large 并不是所有形式的直线都满足向量空间的性质可以成为二维欧几里得空间的子空间}$
二维空间推广到三维空间，对于三维空间来说：
- 过原点的一个平面，是三维空间的一个子空间；
- 过原点的一条直线，是三维空间的一个子空间；
- 三维空间的原点本身，也是三维空间的一个子空间。因为由原点构成的这样一个空间是满足对加法和数量乘法封闭的向量空间。在这个内任意抽出$n$个元素，都是$(0,0,0)$,它们加在一起还是$(0,0,0)$，$k \cdot (0,0,0) = (0,0,0)$,都在这个空间内。
进一步推广到$n$维空间：过原点的一个$m$维空间$(m < n)$，是$n$维空间的一个子空间。
综上，子空间也是一个向量空间，所有在向量空间适用的性质在子空间也是完全适用。
子空间的典型应用场景:$\color {#0868ff} {\small {降维操作}}$,在高维数据所在的空间内找到一个子空间，使得这些数据在子空间中也能很好的找到它们所对应的位置，同时信息并没丢失，这样一个维度更低的子空间，意味着更加简单和方便研究，数据运算量更少对应的计算时间更短。
