对于一个$m*n$的矩阵$A$，有四个基本的子空间
- ①它的列空间可以表示为: $Col(A)$，假设维度为$r$；
- ②它的零空间可以表示为: $Null(A)$，零空间是矩阵的行空间的正交空间，维度为$n-r$；
- ③它的行空间可以表示为: $Col(A^T)$，矩阵的行向量转置后变成列向量，所以矩阵行向量构成的行空间在矩阵转置后对应矩阵的列空间，进而表示为转置矩阵的列空间，维度等于矩阵列空间的维度也就是矩阵的秩$r$；
- ④它的左零空间$Null(A^T)$，指的是矩阵转置后，其列向量变成了行向量，转置矩阵构成的线性方程组$A^{T}x=0$的解$x$所构成的向量空间就是矩阵$A$的左零空间，它是矩阵列空间的正交空间，维度等于$m-r$。
左零空间的"左"释意
一个矩阵的左零空间是矩阵的列空间的正交空间，矩阵转置后原矩阵的列空间变为行空间，建立线性系统$A^{T}x=0$，则这个线性系统的解$x$就是原矩阵列空间的正交空间，也称为左零空间；
求矩阵$A$的转置的零空间，建立如下线性系统
$A^Tx=0 \to (A^{T}x)^{T} = 0$
$x^{T} \cdot A = 0$
$x^{'} \cdot A =0 $
可以看到，化简到最后，求矩阵$A$的转置$A^{T}$的零空间，化成了与直接与矩阵A关联的线性系统$x^{'} \cdot A =0 $，相比直接求矩阵$A$的零空间$x$右乘的形式$A \cdot x=0$,线性系统$x^{'} \cdot A =0 $的解$x^{'}$左乘了矩阵$A$，所以，称矩阵$A$的转置$A^{T}$的零空间为矩阵$A$的左零空间。
