文章目录

一、DFS

1. DFS 简介

2. DFS 的实现步骤

3. DFS 实际演示

二、DFS 例题——排列数字

具体实现

1. 样例演示

2. 实现思路

3. 代码注解

4. 实现代码

三、DFS 例题—— n-皇后问题（经典）

具体实现——按行进行枚举

1. 样例演示

2. 实现思路

3. 代码注解

4. 实现代码

具体实现——按格子进行枚举

1. 实现思路

2. 实现代码

一、DFS

DFS 的关键点是递归和回溯。

1. DFS 简介

DFS（Depth First Search）是深度优先遍历，是图论当中一种非常重要的算法，生产上广泛用于拓扑排序，寻路（走迷宫），搜索引擎，爬虫等。

其定义是，不断地沿着顶点的深度方向遍历。顶点的深度方向是指它的邻接点方向。

主要用于解决是否存在一个我们所需要的结果。因为 DFS 会首先把一种可能的情况尝试到底。才会回溯去尝试下一种情况，只要找到一种情况，就可以返回了。

DFS 问题一般分为两类：

（1）定义的 DFS ：对图的连通性进行测试，典型的问题：迷宫连通性测试、图的条件搜索等。

（2）广义的 DFS–DFS 思路的应用： DFS 搜索顺序+规则问题、穷举结果寻求最优解/符合条件解等等，由于其穷举答案的本质，又被称为爆搜。

2. DFS 的实现步骤

（1）从顶点出发。
（2）访问顶点，也就是根节点。
（3）依次从顶点的未被访问的邻接点出发，进行深度优先遍历；直至和顶点有路径相通的顶点都被访问。
（4）若此时尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到所有顶点均被访问过为止。

3. DFS 实际演示

（1）首从根节点 1 开始遍历，它相邻的节点有 2，3，4，先遍历节点 2，再遍历 2 的子节点 5，然后再遍历 5 的子节点 9。

2）上图中一条路已经走到底了（ 9是叶子节点，再无可遍历的节点），此时就从 9 回退到上一个节点 5，看下节点 5 是否还有除 9 以外的节点，没有继续回退到 2，2 也没有除 5 以外的节点，回退到 1，1 有除 2 以外的节点 3，所以从节点 3 开始进行深度优先遍历，如下。

（3）同理从 10 开始往上回溯到 6, 6 没有除 10 以外的子节点，再往上回溯，发现 3 有除 6 以外的子点 7，所以此时会遍历 7。

（4）从 7 往上回溯到 3， 1，发现 1 还有节点 4 未遍历，所以此时沿着 4， 8 进行遍历,这样就遍历完成了。
（5）完整的节点的遍历顺序如下（节点上的的蓝色数字代表遍历的顺序）。

二、DFS 例题——排列数字

题目描述

给定一个整数 n，将数字 1∼n 排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

输入格式

共一行，包含一个整数 n。

输出格式

按字典序输出所有排列方案，每个方案占一行。

数据范围

1 ≤ n ≤ 7

输入样例

font size=5> 输出样例

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

具体实现

1. 样例演示

题目当中要求的是将数字 1∼n 排成一排，枚举每一种可能发送的情况。

最开始的时候，三个位置都是空的 _ _ _ 。

首先，填写第一个空位，第一个空位可以填 1 _ _ 。

填好第一个空位，填第二个空位，第二个空位可以填 2，填写后为：1 2 _ 。

填好第二个空位，填第三个空位，第三个空位可以填 3，填写后为： 1 2 3 。

此时，空位填完，无法继续填数，因此，这是第一种方案，输出该方案，然后进行回溯。

退到了状态：1 2 _ 。剩余第三个空位没有填数。第三个空位上除了填过的 3 ，没有其他数字可以填。

因此再往后退一步，退到了状态：1 _ _ 。第二个空位上除了填过的 2，还可以填 3 。第二个空位上填写 3，填写后为：1 3 _ 。

填好第二个空位，填第三个空位，第三个空位可以填 2，填写后为：1 3 2 。

这时候，空位填完，无法继续填数，所以这是第二种方案，输出该方案，然后进行回溯。

然后往后退一步，退到了状态：1 3 _ 。剩余第三个空位没有填数。第三个空位上除了填过的 2，没有其他数字可以填。

因此再往后退一步，退到了状态：1 _ _。第二个空位上除了填过的 2，3，没有其他数字可以填。

因此再往后退一步，退到了状态：_ _ _。第一个空位上除了填过的 1，还可以填 2 和 3 。
2 和 3 的填写方法跟 1 的填写方法相同，在此不做过多叙述，大家可以进行类比思考。
整体流程如下图所示。

2. 实现思路

详见样例演示。

3. 代码注解

st[N] 数组表示数字是否被用过，用 bool 类型对其进行表示，当其为 true 时表示被使用过，当其为 false 时，表示其没有被使用。

path[N] 数组保存排列。当排列的长度为 n 时，表明所有位置均已填充，为一种方案，对其进行输出。

dfs(i) 表示的含义是在 path[i] 处填写数字，然后递归的在下一个位置填写数字。

回溯是指第 i 个位置填写某个数字的所有情况都遍历后，第 i 个位置填写下一个数字。

在完成以某一个数字为第一位置所有情况的输出时，要进行回溯，然后要注意将当下情况恢复为原始情况，即 state[N] 变为 false ，尚未使用。在此处，path[i] 不需要进行恢复原样，因为 path[i] 会被覆盖。

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10;
int n;
int path[N];
bool st[N];
void dfs(int u)
{
    if (u == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            cout << path[i] << ' ' ;
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        if (!st[i])  //判断这个数是否被使用过
        {
            path[u] = i;
            st[i] = true;
            dfs(u + 1);
            //path[i]不需要进行恢复原样，因为path[i]都会被覆盖。
            st[i] = false;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    dfs(0);
    system("pause");
    return 0;
}

三、DFS 例题—— n-皇后问题（经典）

题目描述

n − 皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围

1 ≤ n ≤ 9

输入样例

4

输出样例

.Q…

…Q

Q…

…Q.

…Q.

Q…

…Q

.Q…

具体实现——按行进行枚举

1. 样例演示

具体样例演示如下图：

2. 实现思路

首先，从第一行开始看，皇后可以放到哪一列。
然后每一行依次进行枚举。
注意：剪枝，就是提前判断，当前这个方案一定不合法时，直接将与这个方法相关的都完全排除掉。

3. 代码注解

因为 y-x 可能会是负数，但我们的数组下标不能是负数，所以，在此我们加上偏移量 n ，保证数组下标均为正数。

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 20;
int n;
char g[N][N];
bool col[N],dg[N],udg[N];//列，对角线，反对角线
void dfs(int u)
{
    if (u == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            puts(g[i]);
        }
        puts("");
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i]) 
        {
            g[u][i] = 'Q';
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true;
            dfs(u + 1);
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false;
            g[u][i] = '.';
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        for(int j = 0;j < n; j ++)
        {
            g[i][j] = '.';
        }
    }
    dfs(0);
    system("pause");
    return 0;
}

具体实现——按格子进行枚举

1. 实现思路

对每个格子进行枚举，每个格子都有放或不放两种情况，只要我们枚举到最后一个格子，就可以知道共有几种布局方案了。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 20;
int n;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N * 2], udg[N * 2];
void dfs(int x,int y,int s)//x，y 表示坐标，u表示当前有几个皇后
{
    if (s > n) 
    {
        return;
    }
    if (y == n)
    {
        y = 0;
        x ++ ;
    }
    if (x == n)
    {
        if (s == n)
        {
            for (int i = 0; i < n; i ++ ) 
            {
                puts(g[i]);
            }
            puts("");
        }
        return;
    }
//不放皇后
    g[x][y] = '.';
    dfs(x, y + 1, s);
//放皇后
    if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n])
    {
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
        g[x][y] = 'Q';
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        g[x][y] = '.';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        for(int j = 0;j < n; j ++)
        {
            g[i][j] = '.';
        }
    }
    dfs(0,0,0);
    system("pause");
    return 0;
}

搜索与图论-DFS

一、DFS

1. DFS 简介

2. DFS 的实现步骤

3. DFS 实际演示

二、DFS 例题——排列数字

具体实现

1. 样例演示

2. 实现思路

3. 代码注解

4. 实现代码

三、DFS 例题—— n-皇后问题（经典）

具体实现——按行进行枚举

1. 样例演示

2. 实现思路

3. 代码注解

4. 实现代码

具体实现——按格子进行枚举

1. 实现思路

2. 实现代码

热门文章

最新文章

相关电子书