公式2：参数的贝叶斯规则
在这里，X是我们的数据集，θ是分布的参数或参数集。α是分布的超参数。p（θ| X，α）是后验分布，也称为后验分布。p（X |θ，α）是似然，p（θ|α）是先验。训练过程的整体思路是，随着我们获得有关数据分布的更多信息，我们将调整模型参数θ以适合数据。从技术上讲，后验分布的参数将插入到先前的分布中，以进行训练过程的下一次迭代。也就是说，给定训练步骤的后验分布最终将成为下一步骤的先验。重复该过程，直到步骤之间的后验分布p（θ| X，α）几乎没有变化为止。
现在，让我们回到有关PMF的直觉上。如前所述，我们的模型参数将是U和V，而R将是我们的数据集。经过培训后，我们将得到一个修订的R *矩阵，该矩阵还将包含对用户项目单元格最初在R中为空的评分。我们将使用此修订的评分矩阵进行预测。基于这些考虑，我们将拥有：
其中σ是零均值球形高斯分布的标准偏差。然后，通过替换等式2中的这些表达式，我们将得到：
由于U和V矩阵彼此独立（用户和项独立发生），因此该表达式也可以这样写：
公式3：PMF的A-Posteriori分布
现在是时候找出该方程式的每个分量了。首先，似然函数由下式给出：
公式4：观测等级的分布
在此，I {ij}是一个指标，当第i行和第j列的评级存在时，其值为1，否则为0。如我们所见，此分布是具有以下参数的spherical Gaussian分布：
反过来，U和V的先验分布由下式给出：
公式5和6：U和V的先验分布
这是两个零均值球面高斯（spherical Gaussians）。然后，通过在3中替换4、5和6，我们将得到：
为了训练我们的模型，我们将寻求通过将参数U和V的导数等价为零来最大化此函数。但是，由于高斯函数中的exp函数，这样做将非常困难。为了克服这个问题，我们应该将对数应用于前面的方程式的两边，然后应用所需的导数。因此，通过将对数应用于上一个方程的两边，我们将获得：
这是一个更容易区分的表达方式。我们也知道，根据定义，高斯PDF由以下公式给出：
因此，我们对数后验的表达式将如下所示（注意：为简单起见，我们已删除了常量）：
Fro后缀表示Frobenius范数，它由下式给出：
最后，通过引入一些附加的符号来标识模型的超参数，我们将获得：
公式7：PMF的对数后验
然后，通过对参数微分方程式7并将导数等于零，我们将得到：
从这里，我们可以导出表达式以更新Ui和Vj：
公式8和9：用于更新U和V的表达式
假设λU和λV都不为零，则可以保证所涉及的逆矩阵存在。作为训练过程的一部分，我们将迭代更新Ui和Vj。一旦找到最佳值，就可以使用方程式7获得log-MAP的值（最大后验值）。正如我们在Python实现中所看到的那样，我们可以使用该值来监控训练收敛 。
