如何用高斯-牛顿法求解最优问题

高斯-牛顿法（Gauss-Newton method）是一种迭代算法，用于解决非线性最小二乘问题，即在给定一系列观测数据点(x_i, y_i)和一个模型y = f(x, a, b)的情况下，找到参数a和b的最优估计，使得模型与数据之间的残差平方和最小。在这个例子中，你的模型是y = ax^b。

以下是使用高斯-牛顿法逐步求解此问题的一个简要步骤：

1. 定义残差函数

首先，定义残差函数r_i(a, b)为模型预测值与实际观测值之差： [ r_i(a, b) = y_i - (ax_i^b) ]

2. 构建雅可比矩阵

然后，计算残差函数关于参数a和b的偏导数，组成雅可比矩阵J。对于模型y = ax^b，我们有： [ J_{ij} = \frac{\partial r_i}{\partial a} = -x_i^b, \quad J_{ij}' = \frac{\partial r_i}{\partial b} = -a x_i^{b} \ln(x_i) ] 其中J_{ij}表示第i个观测对应的对a的偏导数，J_{ij}'是对b的偏导数。

3. 初始化参数

选择初始猜测值a_0和b_0，通常可以随机选取或根据先验知识设定。

4. 迭代过程

重复以下步骤直至收敛（例如，当参数变化小于某个阈值或达到最大迭代次数时停止）：

a. 计算当前参数下的残差向量r和雅可比矩阵J。

b. 构造高斯-牛顿方程组： [ J^T J \Delta = -J^T r ] 这里\Delta = (\Delta a, \Delta b)^T是参数的更新量，需要求解。

c. 解这个线性系统得到\Delta，并更新参数： [ a_{new} = a_{old} + \Delta a, \quad b_{new} = b_{old} + \Delta b ]

d. 检查收敛条件，如果不满足则返回步骤4a继续迭代。

5. 收敛判断

常见的收敛判断标准包括：参数更新量的范数足够小、残差平方和的变化足够小、达到预设的最大迭代次数等。

实现提示

在实际编程实现时，你可能需要使用数值方法来计算对数和指数（特别是当b接近零时，直接计算x^b和ln(x)可能会遇到数值稳定性问题）。此外，由于高斯-牛顿法依赖于雅可比矩阵的逆，如果矩阵病态或接近奇异，可能需要采用列文伯格-马夸特修正（Levenberg-Marquardt modification）来稳定求解过程。

请注意，上述步骤提供了一个基本框架，具体实现时还需考虑边界条件处理、异常值检测以及优化库的选择（如Python中的scipy.optimize.curve_fit提供了更高级的接口来自动执行这些步骤）。