请问递归算法的时间复杂度如何计算呢?

递归算法的时间复杂度分析 收藏
在算法分析中，当一个算法中包含递归调用时，其时间复杂度的分析会转化为一个递归方程求解。实际上，这个问题是数学上求解渐近阶的问题，而递归方程的形式多种多样，其求解方法也是不一而足，比较常用的有以下四种方法：

(1)代入法(Substitution Method)

代入法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法来验证该解是否合理。

(2)迭代法(Iteration Method)

迭代法的基本步骤是迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和式，然后通过对和式的估计来达到对方程左端即方程的解的估计。

(3)套用公式法(Master Method)

这个方法针对形如“T(n) = aT(n/b) + f(n)”的递归方程。这种递归方程是分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子问题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a个子间题的解的综合，得到原问题的解。

(4)差分方程法(Difference Formula Method)

可以将某些递归方程看成差分方程，通过解差分方程的方法来解递归方程，然后对解作出渐近阶估计。

下面就以上方法给出一些例子说明。

一、代入法

大整数乘法计算时间的递归方程为：T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中T(1) = O(1)，我们猜测一个解T(n) = O(n2 )，根据符号O的定义，对n>n0，有T(n) < cn2 - eO(2n)（注意，这里减去O(2n)，因其是低阶项，不会影响到n足够大时的渐近性），把这个解代入递归方程，得到：

T(n) = 4T(n/2) + O(n)
≤ 4c(n/2)2 - eO(2n/2)) + O(n)
= cn2 - eO(n) + O(n)
≤ cn2

其中，c为正常数，e取1，上式符合 T(n)≤cn2 的定义，则可认为O(n2 )是T(n)的一个解，再用数学归纳法加以证明。

二、迭代法

某算法的计算时间为：T(n) = 3T(n/4) + O(n)，其中T(1) = O(1)，迭代两次可将右端展开为：

T(n) = 3T(n/4) + O(n)
= O(n) + 3( O(n/4) + 3T(n/42 ) )
= O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + 3T(n/43 ) ) )

从上式可以看出，这是一个递归方程，我们可以写出迭代i次后的方程：

T(n) = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + ... + 3( n/4i + 3T(n/4i+1 ) ) ) )

当n/4i+1 =1时，T(n/4i+1 )=1，则

T(n) = n + (3/4) + (32 /42 )n + ... + (3i /4i )n + (3i+1 )T(1)
< 4n + 3i+1

而由n/4i+1 =1可知，i<log4 n，从而

3i+1 ≤ 3log4 n+1 = 3log3 n*log4 3 +1 = 3nlog4 3

代入得：

T(n) < 4n + 3nlog4 3，即T(n) = O(n)。

三、套用公式法

这个方法为估计形如：

T(n) = aT(n/b) + f(n)

其中，a≥1和b≥1，均为常数，f(n)是一个确定的正函数。在f(n)的三类情况下，我们有T(n)的渐近估计式：

1.若对于某常数ε>0，有f(n) = O(nlogb a-ε )，则T(n) = O(nlogb a )

2.若f(n) = O(nlogb a )，则T(n) = O(nlogb a *logn)

3.若f(n) = O(nlogb a+ε )，且对于某常数c>1和所有充分大的正整数n，有af(n/b)≤cf(n)，则T(n)=O(f(n))。

设T(n) = 4T(n/2) + n，则a = 4，b = 2，f(n) = n，计算得出nlogb a = nlog2 4 = n2 ，而f(n) = n = O(n2-ε )，此时ε= 1，根据第1种情况，我们得到T(n) = O(n2 )。

这里涉及的三类情况，都是拿f(n)与nlogb a 作比较，而递归方程解的渐近阶由这两个函数中的较大者决定。在第一类情况下，函数nlogb a 较大，则T(n)=O(nlogb a )；在第三类情况下，函数f(n)较大，则T(n)=O(f (n))；在第二类情况下，两个函数一样大，则T(n)=O(nlogb a *logn)，即以n的对数作为因子乘上f(n)与T(n)的同阶。

但上述三类情况并没有覆盖所有可能的f(n)。在第一类情况和第二类情况之间有一个间隙：f(n)小于但不是多项式地小于nlogb a ，第二类与第三类之间也存在这种情况，此时公式法不适用。

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　　1、递归
　　是指对一个问题的求解，可以通过同一问题的更简单的形式的求解来表示. 并通过问题的简单形式的解求出复杂形式的解. 递归是解决一类问题的重要方法. 递归程序设计是程序设计中常用的一种方法，它可以解决所有有递归属性的问题，并且是行之有效的. 但对于递归程序运行的效率比较低，无论是时间还是空间都比非递归程序更费，若在程序中消除递归调用，则其运行时间可大为节省. 以下讨论递归的时间效率分析方法，以及与非递归设计的时间效率的比较.
　　2、时间复杂度的概念及其计算方法
　　算法是对特定问题求解步骤的一种描述. 对于算法的优劣有其评价准则，主要在于评价算法的时间效率，算法的时间通过该算法编写的程序在计算机中运行的时间来衡量，所花费的时间与算法的规模n有必然的联系，当问题的规模越来越大时，算法所需时间量的上升趋势就是要考虑的时间度量。
　　算法的时间度量是依据算法中最大语句频度（指算法中某条语句重复执行的次数）来估算的，它是问题规模n的某一个函数f(n). 算法时间度量记作：T（n）=O（f（n）） 。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的时间复杂度，简称时间复杂度[2]。
　　例如下列程序段：
（1）x=x+1;（2）for(i=1;i<=n;i++) x=x+1;（3）for(j=1;j<=n;j++) for(k=1;k<=n;k++) x=x+1. 以上三个程序段中，语句x=x+1的频度分别为1，n，n2，则这三段程序的时间复杂度分别为O（1），O（n），O（n2）。
　　求解过程为：先给出问题规模n的函数的表达式，然后给出其时间复杂度T（n）。
　　但是在现实程序设计过程中，往往遇到的问题都是比较复杂的算法，就不能很容易地写出规模n的表达式，也比较难总结其时间复杂度. 递归函数就是属于这种情况. 下面举例说明递归函数的时间复杂度的分析方法。