🍀位运算

用位运算即是计算机的运算规则，而计算机只懂得二进制，所以位运算使用的进制是二进制，本文所述皆为二进制，下文中不在赘述。

位运算与计算机的CPU相关，32位的CPU只能表示32位内的数。

🍀加法计算

☘️一位数推导

这里先用个位数的加法（只考虑个位数，不考虑进位）来进行。

1 + 1 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
0 + 0 = 0

可以看出，这些表达式可以用异或“^”来表示。

1 ^ 1 = 0
1 ^ 0 = 1
0 ^ 1 = 1
0 ^ 0 = 0

个位数的加法计算完成，但不要忘记还没有考虑进位，那么进位如何获取。

只考虑进位计算，不考虑个位和。

0 + 0 = 0
1 + 0 = 0
0 + 1 = 0
1 + 1 = 1

同样，我们可以得到，可以用并且&来模拟进位，但只获取到进位标志，还得再左移一位。

0 & 0 = 不进位
1 & 0 = 不进位
0 & 1 = 不进位
1 & 1 = 进位

于是在利用“<<”将进位结果向左移动一位，完成“进位”操作。

//进位可以用如下表示：
(x&y)<<1

现在，有了这样两个表达式，那怎么完成一个加法呢。

x^y //执行加法
(x&y)<<1 //进位操作

☘️二位数加法验证

以11+01为例：

11+01 = 100  
 
// 不进位的和
11 ^ 01 = 10
// 只进位的和
(11 & 01) << 1 = 10

观察到两个结果，可以发现两个结果数还需要再次相加 10 + 10 = 100，于是再一次的进行上述操作。

 // 不进位的和
10 ^ 10 = 00
 // 只进位的和
(10 & 10) << 1 = 100

到这里，虽然计算结果已经是我们想要的结果了，但进位标志仍不为0，我们的目标是让进位标志位为0，因此再计算一次。

000^100 = 100
(000^100)<<1 = 000

由此最后一次异或的结果就是本次算数加法计算的和。

🍀代码实现

public int add(int a, int b) {
    int sum = (a ^ b); // 和（未进位）
    int carry = ((a & b) << 1); // 进位标志和
    while(carry!=0) {
        a = sum; b = carry;
        sum = (a ^ b);
        carry = ((a & b) << 1);
    }
    return sum;
}