具体数学-第7课（取整基础一）

符号定义

向下取整函数 定义为小于等于 x 的最大整数。

向上取整函数 定义为大于等于 x 的最小整数。

定义为实数 x 的小数部分，即

性质

性质1

性质2

取整函数范围：

性质3

负数的取整：

性质4

取整函数中的整数可以提取出来：

应用

应用1

证明：

更一般的，我们还可以证明，对于任意连续、递增的函数 ，如果它满足

那么有

我们证明第2个式子，第1个同理可证。

如果 ，显然成立。

否则 ，因为 递增，所以有

两边同时取整，有

要证左右两边相等，那么只要证

不成立即可。假设上式成立，那么由中间值定理，一定存在 ，使得

敲黑板！！这里是怎么来的呢？

由下图可以看出，当下面式子成立时，满足中间值定理

但是在这里，我们假设是

那么由 能否推出 呢？当然是可以的。

所以

又因为 ，所以不存在整数 y ，矛盾！

所以证得

另一个特殊的例子是

其中 m 和 n 都是整数，并且 n 是正整数。