前言
二叉树（Binary tree）是树形结构的一个重要类型。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。二叉树特点是每个结点最多只能有两棵子树，且有左右之分。
二叉树是n个有限元素的集合，该集合或者为空、或者由一个称为根（root）的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成，是有序树。当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。在二叉树中，一个元素也称作一个结点 。
2、二叉树定义
二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树。
3、二叉树的五种基本形态
1、空二叉树——如图1（a） ；
2、只有一个根结点的二叉树——如图1（b）；
3、只有左子树——如图1（c） ；
4、只有右子树——如图1（d） ；
5、完全二叉树
满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树
4、相关术语
①结点：包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息。
②结点的度：一个结点拥有子树的数目称为结点的度。
③叶子结点：也称为终端结点，没有子树的结点或者度为零的结点。
④分支结点：也称为非终端结点，度不为零的结点称为非终端结点。
⑤树的度：树中所有结点的度的最大值。
⑥结点的层次：从根结点开始，假设根结点为第1层，根结点的子节点为第2层，依此类推，如果某一个结点位于第L层，则其子节点位于第L+1层。
⑦树的深度：也称为树的高度，树中所有结点的层次最大值称为树的深度。
⑧有序树：如果树中各棵子树的次序是有先后次序，则称该树为有序树。
⑨无序树：如果树中各棵子树的次序没有先后次序，则称该树为无序树。
⑩森林：由m（m≥0）棵互不相交的树构成一片森林。如果把一棵非空的树的根结点删除，则该树就变成了一片森林，森林中的树由原来根结点的各棵子树构成。
5、二叉树性质
性质1：二叉树的第i层上至多有2i-1（i≥1）个节点。
性质2：深度为h的二叉树中至多含有2h-1个节点。
性质3：若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1。
性质4：具有n个节点的完全二叉树深为log2x+1（其中x表示不大于n的最大整数）。
性质5：若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点：
当i=1时，该节点为根，它无双亲节点。
当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2。
若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点。
若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点。
6、二叉树遍历
一棵二叉树由根结点、左子树和右子树三部分组成，若规定 D、L、R 分别代表遍历根结点、遍历左子树、遍历右子树，则二叉树的遍历方式有 6 种：DLR、DRL、LDR、LRD、RDL、RLD。由于先遍历左子树和先遍历右子树在算法设计上没有本质区别，所以，只讨论三种方式：
6.1、DLR–前序遍历（根左右）
根在前，从左往右，一棵树的根永远在左子树前面，左子树又永远在右子树前面 。
6.2、LDR–中序遍历（左根右）
根在中，从左往右，一棵树的左子树永远在根前面，根永远在右子树前面。
6.3、 LRD–后序遍历（左右根）
根在后，从左往右，一棵树的左子树永远在右子树前面，右子树永远在根前面。
前序遍历（DLR）：
中序遍历（LDR）：
后序遍历（LRD）：
* 中序投影法
计算中序遍历拥有比较简单直观的投影法，如图
7、层序遍历
除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
8、实例：
二叉树的先序遍历是：ABDEGCFH 中序遍历是：DBGEACHF,请写出这个二叉树的后序遍历结果。
答：
方法一、先序+中序遍历还原二叉树,文字解读：
1）首先从先序得到第一个为A，就是二叉树的根，回到中序，可以将其分为三部分：
左子树的中序序列DBGE，根A，右子树的中序序列CHF。
2）接着将左子树的序列回到先序可以得到B为根，这样回到左子树的中序再次将左子树分割为三部分：
左子树的左子树D，左子树的根B，左子树的右子树GE
3）同样地，可以得到右子树的根为C
类似地将右子树分割为根C，右子树的右子树HF，注意其左子树为空
如果只有一个就是叶子不用再进行了，刚才的GE和HF再次这样运作，就可以将二叉树还原了。
方法二：中序投影法
前序（根左右）：A B D E G C F H
**结果：**后序(左右根)：D G E B H FCA
思路：
先用中序投影法，将结点投影到一条线上。然后利用二叉树原理，根据前序排列绘制出二叉树的结果。
参考：
1、二叉树-百科
2、二叉树遍历-百科
大神精论：
