396. 旋转函数 : 经典「前缀和 + 滑动窗口」运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 396. 旋转函数 ，难度为 中等。

Tag : 「前缀和」、「滑动窗口」

给定一个长度为 nn 的整数数组 numsnums 。

假设 arr_karrk 是数组 numsnums 顺时针旋转 kk 个位置后的数组，我们定义 numsnums 的 旋转函数  F 为：

• F(k) = 0 * arrk[0] + 1 * arrk[1] + ... + (n - 1) * arrk[n - 1]

返回 F(0), F(1), ..., F(n-1)中的最大值 。

生成的测试用例让答案符合 3232 位 整数。

示例 1:

输入: nums = [4,3,2,6]
输出: 26
解释:
F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26
所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26 。
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示例 2:

输入: nums = [100]
输出: 0
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提示:

• n == nums.lengthn==nums.length
• 1 <= n <= 10^51<=n<=105
• -100 <= nums[i] <= 100−100<=nums[i]<=100

前缀和 + 滑动窗口

为了方便，我们将 numsnums 的长度记为 nn。

题目要对「旋转数组」做逻辑，容易想到将 numsnums 进行复制拼接，得到长度为 2 * n2∗n 的新数组，在新数组上任意一个长度为 nn 的滑动窗口都对应了一个旋转数组。

然后考虑在窗口的滑动过程中，计算结果会如何变化，假设当前我们处理到下标为 [i, i + n - 1][i,i+n−1] 的滑动窗口，根据题意，当前结果为：

cur = nums[i] * 0 + nums[i + 1] * 1 + ... + nums[i + n - 1] * (n - 1)cur=nums[i]∗0+nums[i+1]∗1+...+nums[i+n−1]∗(n−1)

当窗口往后移动一位，也就是窗口的右端点来到 i + ni+n 的位置，左端点来到 i + 1i+1 的位置。

我们需要增加「新右端点」的值，即增加 nums[i + n] * (n - 1)nums[i+n]∗(n−1)，同时减去「旧左端点」的值，即减少 nums[i] * 0nums[i]∗0（固定为 00），然后更新新旧窗口的公共部分 [i + 1, i + n - 1][i+1,i+n−1]。

不难发现，随着窗口的逐步右移，每一位公共部分的权值系数都会进行减一。

nums[i + 1] * 1 + nums[i + 2] * 2 + ... + nums[i + n - 1] * (n - 1)nums[i+1]∗1+nums[i+2]∗2+...+nums[i+n−1]∗(n−1)

变为

nums[i + 1] * 0 + nums[i + 2] * 1 + ... + nums[i + n - 1] * (n - 2)nums[i+1]∗0+nums[i+2]∗1+...+nums[i+n−1]∗(n−2)

因此，公共部分的差值为 \sum_{idx = i + 1}^{i + n - 1}nums[idx]∑idx=i+1i+n−1nums[idx]，这引导我们可以使用前缀和进行优化。

至此，我们从旧窗口到新窗口的过渡，都是 O(1)O(1)，整体复杂度为 O(n)O(n)。

实现上，我们并不需要真正对 numsnums 进行复制拼接，而只需要在计算前缀和数组 sumsum 进行简单的下标处理即可。

代码：

class Solution {
    public int maxRotateFunction(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] sum = new int[n * 2 + 10];
        for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[(i - 1) % n];
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ans += nums[i - 1] * (i - 1);
        for (int i = n + 1, cur = ans; i < 2 * n; i++) {
            cur += nums[(i - 1) % n] * (n - 1);
            cur -= sum[i - 1] - sum[i - n];
            if (cur > ans) ans = cur;
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(n)O(n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.396 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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