本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第2章，第2.6节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看
2.6 列昂惕夫投入产出模型
在Wassily Leontief获得诺贝尔奖的工作中，线性代数起着重要的作用. 如第1章开始所提到的，本节所叙述的经济模型是现在世界各国广泛使用模型的基础.
设某国的经济体系分为 n个部门，这些部门生产商品和服务. 设 x为 
中产出向量，它列出了每一部门一年中的产出. 同时，设经济体系的另一部分（称为开放部门）不生产产品或服务，仅仅消费商品或服务，d 为最终需求向量，它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务. 此向量代表消费者需求、政府消费、超额生产、出口或其他外部需求.
由于各部门生产商品以满足消费者需求，生产者本身创造了中间需求，需要这些产品作为生产部门的投入，部门之间的关系是很复杂的，而生产和最后需求之间的联系也还不清楚. 列昂惕夫思考是否存在某一生产水平x 恰好的满足这一生产水平的总需求（x 称为供给），那么
{总产出x}={中间需求}+{最终需求d} （1）
列昂惕夫的投入产出模型的基本假设是，对每个部门，有一个单位消费向量，它列出了该部门的单位产出所需的投入. 所有的投入与产出都以百万美元作为单位，而不用具体的单位如吨等（假设商品和服务的价格为常数）.
作为一个简单的例子，设经济体系由三个部门组成——制造业、农业和服务业. 单位消费向量
如表2-1所示.
例1 如果制造业决定生产100单位产品，它将消费多少？
解 计算
为生产100单位产品，制造业需要消费制造业其他部门的50单位产品，20单位农业产品，10单位服务业产品.
若制造业决定生产
单位产出，则在生产的过程中消费掉的中间需求是
，类似地，若 
和 
表示农业和服务业的计划产出，则
和
为它们的对应中间需求. 三个部门的中间需求为
（2）
这里 C是消耗矩阵
，即
（3）
方程（1）和（2）产生列昂惕夫模型.
列昂惕夫投入产出模型或生产方程
（4）
把x 写成 Ix，应用矩阵代数，可把（4）重写为
（5）
例2 考虑消耗矩阵为（3）的经济. 假设最终需求是制造业50单位，农业30单位，服务业20单位，求生产水平x .
解 （5）中系数矩阵为
为解方程（5），对增广矩阵作行变换
最后一列四舍五入到整数，制造业需生产约226单位，农业119单位，服务业78单位.
若矩阵 I-C可逆，则我们可应用2.2节定理5，用 I-C代替 A，由方程(I-C)x=d 得出 
. 下列定理说明，在大部分的实际情况下，I-C 是可逆的，而且产出向量x 是经济上可行的，亦即 x中的元素是非负的.
在此定理中，列的和表示矩阵中某一列元素的和. 在通常情况下，某一消耗矩阵的列的和是小于1的，因为一个部门要生产一单位产出所需投入的总价值应该小于1.
定理11 设 C为某一经济的消耗矩阵，d 为最终需求. 若C 和 d的元素非负，C 的每一列的和小于1，则 
存在，而产出向量
有非负元素，且是下列方程的唯一解
下列讨论说明定理成立的理由，且给出一种计算
的新方法. 的公式
假设由 d表示的需求在年初提供给各种工业，它们制定产业水平为x=d 的计划，它将恰好满足最终需求，由于这些工业准备产出为f ，它们将提出对原料及其他投入的要求. 这就创造出对投入的需求 Cd.
为满足附加需求 Cd，这些工业又需要进一步的投入为 
，当然，它又创造出第二轮的中间需求，当要满足这些需求时，它们又创造出第三轮需求，即 
，等等.
理论上，这个过程可无限延续下去，虽然实际上这样一系列事件不可能一直发生下去. 我们可把这一假设的情形表示如表2-2所示.
为了满足所有这些需求的产出水平 x是
（6）
为了使（6）有意义，我们使用下列代数恒等式：
（7）
可以证明，若 C的列的和都严格小于1，则 I-C是可逆的，当 m趋于无穷时
趋于0，而
.（这有点类似于当正数 小于1时，随着 m增大，
.）应用（7），我们有
当C 的列的和小于1时， 
（8）
我们将（8）解释为当 m充分大时，右边可以任意接近于
.
在实际的投入产出模型中，消耗矩阵的幂迅速趋于0，故（8）实际上给出一种计算 的方法. 类似地，对任意d ，向量 
迅速地趋于零向量，而（6）给出实际解 
的方法. 若C 和d 中的元素是非负的，则（6）说明 x中的元素也是非负的. 中元素的经济重要性中的元素是有意义的，因它们可用来预计当最终需求 改变时，产出向量 如何改变. 事实上， 的第 j列表示当第 j个部门的最终需求增加1单位时，各部门需要增加产出的数量. 见习题8.
数值计算的注解 在任何应用问题中（不仅是经济学）方程 
总可以写成
的形式，其中 
. 若方程组很大而且稀疏（大部分元素为0），可能C 的各列元素绝对值之和小于1，这时 
，若
趋向于零足够迅速，（6）和（8）可以用来作为解方程
的实际方法，也可用来求
.
练习题
设某一经济有两个部门，商品和服务部门. 商品部门的单位产出需要0.2单位商品和0.5单位服务的投入，服务部门的单位产出需要0.4单位商品和0.3单位服务的投入. 最终需求是20单位商品和30单位服务，列出列昂惕夫投入产出模型的方程.
习题2.6
