题目描述
这是 LeetCode 上的 1143. 最长公共子序列 ，难度为 中等。
Tag : 「最长公共子序列」、「LCS」、「序列 DP」
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。 复制代码
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。 复制代码
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def" 输出：0 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。 复制代码
提示：
- 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
- text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。
动态规划【空格技巧】
这是一道「最长公共子序列（LCS）」的裸题。
对于这类题的都使用如下「状态定义」即可：
f[i][j]f[i][j]f[i][j] 代表考虑 s1s1s1 的前 iii 个字符、考虑 s2s2s2 的前 jjj 的字符，形成的最长公共子序列长度。
当有了「状态定义」之后，基本上「转移方程」就是呼之欲出：
s1[i]==s2[j]: f[i][j]=f[i−1][j−1]+1f[i][j]=f[i-1][j-1]+1f[i][j]=f[i−1][j−1]+1。代表必然使用 s1[i]s1[i]s1[i] 与 s2[j]s2[j]s2[j] 时 LCS 的长度。s1[i]!=s2[j]: f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])。代表必然不使用 s1[i]s1[i]s1[i]（但可能使用s2[j]s2[j]s2[j]）时 和 必然不使用 s2[j]s2[j]s2[j]（但可能使用s1[i]s1[i]s1[i]）时 LCS 的长度。
一些编码细节：
通常我会习惯性往字符串头部追加一个空格，以减少边界判断（使下标从 1 开始，并很容易构造出可滚动的「有效值」）。
代码：
class Solution { public int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) { int n = s1.length(), m = s2.length(); s1 = " " + s1; s2 = " " + s2; char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray(); int[][] f = new int[n + 1][m + 1]; // 因为有了追加的空格，我们有了显然的初始化值（以下两种初始化方式均可） // for (int i = 0; i <= n; i++) Arrays.fill(f[i], 1); for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { if (cs1[i] == cs2[j]) { f[i][j] = f[i -1][j - 1] + 1; } else { f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]); } } } // 减去最开始追加的空格 return f[n][m] - 1; } } 复制代码
- 时间复杂度：O(n∗m)O(n * m)O(n∗m)
- 空间复杂度：O(n∗m)O(n * m)O(n∗m)
动态规划【利用偏移】
上述「追加空格」的做法是我比较习惯的做法 🤣
事实上，我们也可以通过修改「状态定义」来实现递推：
f[i][j]f[i][j]f[i][j] 代表考虑 s1s1s1 的前 i−1i - 1i−1 个字符、考虑 s2s2s2 的前 j−1j - 1j−1 的字符，形成的最长公共子序列长度。
那么最终的 f[n][m]f[n][m]f[n][m] 就是我们的答案，f[0][0]f[0][0]f[0][0] 当做无效值，不处理即可。
s1[i-1]==s2[j-1]: f[i][j]=f[i−1][j−1]+1f[i][j]=f[i-1][j-1]+1f[i][j]=f[i−1][j−1]+1。代表使用 s1[i−1]s1[i-1]s1[i−1] 与 s2[j−1]s2[j-1]s2[j−1]形成最长公共子序列的长度。s1[i-1]!=s2[j-1]: f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])。代表不使用 s1[i−1]s1[i-1]s1[i−1] 形成最长公共子序列的长度、不使用 s2[j−1]s2[j-1]s2[j−1] 形成最长公共子序列的长度。这两种情况中的最大值。
代码：
class Solution { public int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) { int n = s1.length(), m = s2.length(); char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray(); int[][] f = new int[n + 1][m + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) { f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1; } else { f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]); } } } return f[n][m]; } } 复制代码
- 时间复杂度：O(n∗m)O(n * m)O(n∗m)
- 空间复杂度：O(n∗m)O(n * m)O(n∗m)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1143 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour…
在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
