深度学习导论及案例分析》一2.10概率图模型的学习

#### 本节书摘来自华章出版社《深度学习导论及案例分析》一书中的第2章，第2.10节，作者李玉鑑 张婷，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。

2.10概率图模型的学习

在给定一个关于随机向量X的数据样本集合S={x1，x2，…，xN}时，常常需要对X的概率分布进行建模。不妨假设S中的每个样本都是独立同分布的（independent and identically distributed，i.i.d），且都服从未知的真实联合概率分布P（X）。学习概率图模型的任务可以描述为：给定样本集合S，返回一个对P（X）逼近最好的概率图模型。这种类型的学习称为生成学习（generative learning），其目标是对数据的生成过程进行建模。一般说来，精确计算P*（X）几乎是不可能的，尤其是在可以利用的样本相对较少时。

贝叶斯网络的生成学习就是在给定网络结构和数据样本集S的条件下，对所定义概率分布中的局部参数Θ={θ1，θ2，…，θN}进行极大似然估计（maximumlikelihood estimation，或译为最大似然估计），其中相应概率分布表达为：

P（X）=∏Ni=1P（XiPa（Xi），θi）（2.101）

如果令Pai=Pa（Xi）和xPai=x（Pa（Xi）），那么对于独立同分布样本集S，贝叶斯网络的总体对数似然L（B;S）可以分解为单个样本对数似然（θi，S）的和，即：

L（B;S）=∑Nl=1∑Li=1logP（xlixlPai，θi）=∑Li=1（θi，S）（2.102）

其中（θi，S）又可以分解为局部条件概率的对数和：

（θi，S）=∑Nl=1logP（xlixlPai，θi）（2.103）

因此，在（θi，S）仅依赖于θi的条件下，最大化总体对数似然等价于分别通过最大化单个样本对数似然，对每个局部参数θi进行估计。否则，问题可能变得非常复杂。

马尔可夫网络M的生成学习就是在给定网络结构和数据样本集S={x1，…，xN}的条件下，对一个通过能量函数定义的概率分布族中的参数θ进行极大似然估计。如果用p（x）表示马尔可夫网络的概率分布，那么相应的对数似然函数如下：

L（M;S）=log∏Nl=1p（xlθ）=∑Nl=1logp（xlθ）（2.104）

如果S中的每个样本都是独立同分布的且都服从未知的真实概率分布q（x），那么最大化L（M;S）等价于最小化q和p之间的KL散度，即：

KL（qp）=∑q（x）logq（x）p（x）=∑q（x）logq（x）-∑q（x）logp（x）（2.105）

KL散度可以用来度量两个概率分布的差异，具有非对称性和非负性，并且当且仅当两个分布相同时值为0。如公式（2.105）所示，在最小化KL散度时，只有第二项依赖于需要优化的参数。

一般说来，对于马尔可夫网络的吉布斯分布，计算最优的极大似然参数θ几乎是不可能的，通常需要采用近似方法，如梯度上升（gradient ascent）［110］、梯度下降（gradient descent）［111］和变分学习（variational learning）［112］等方法。梯度上升（或下降）是近似计算函数极值的基本方法，变分学习则是一类在机器学习中近似计算积分或期望的常用方法。

除了生成学习之外，概率图模型的学习还包括结构学习和判别学习等内容。生成学习的根本目标是确定数据样本的真实概率分布。结构学习的根本目标是确定数据样本的概率图结构，主要方法有两种：基于约束的方法（constraintbased approach）［113］和基于打分的方法（scoringbased approach）［114］。判别学习的根本目标是确定数据样本的类别，但判别学习模型的出发点并不一定是概率图模型，主要方法包括：生成分类器（generative classifier）［115］、类别后验概率建模［116］，以及支持向量机［117］和神经网络［118］等模型。这里不再一一赘述。

生成学习和判别学习的区别在于，生成学习得到的是联合概率模型P（X），而判别学习得到的是条件概率模型P（yX）。如果有足够表达能力的模型和有充足的训练数据，那么原则上通过生成方式学习和训练模型，可以得到最优的分类器。使用判别学习的原因在于，判别模型在解决分类问题时，不仅更简单、更直接，而且常常能够取得更好的效果。