今天刚刚写到求最大公因数这个编程题，以前也做到过几次，没有把它记下来，今天正好把它写在Typora和博客上，一来方便以后学习，本人也不喜欢用纸质纸记笔记了，二来也熟悉熟悉这个软件。
我个人认为只要有数学公式的，写代码就会很方便，毕竟是定理，数学家们证明过的，比较有权威性，所以我们直接拿来用就好了。
最大公约数基本概念：
如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。
"倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数。
几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
辗转相除法:
辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。
定理：gcd（a，b）= gcd（b，a % b）
证明：（a|b是整除的意思） gcd(a,b) = gcd(b,a % b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0) a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数），则r = a %b
假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。 而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，等式左边可知m为整数，因此d|r 因此d也是（b,a % b）的公约数
因此（a,b）和（b,a % b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
#include
int GCD(int a, int b)
{
while (b != 0)
{
int r = a % b;
a = b;
b = r;
}
return a;
}
int main()
{
int a = 0;
int b = 0;
scanf("%d %d", &a, &b);
int gcd = GCD(a,b);
printf("%d",gcd);
return 0;
}
更相减损法:
更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。
证明：gcd(x,y)=gcd(x,y-x)。
设gcd(x,y)=d，则满足x=k1d，y=k2d，易得k1与k2互质。
情况1：x=y。显然，gcd(x,y)=x=gcd(x,0)=gcd(x,y-x)。
情况2：不妨令x
用反证法。
假设k1,(k2 - k1)不互质，
令gcb(k1.k2-k1) = m(m为正整数且m>1);
k1 = ma,k2 - k1 = mb
k2 = (a+b)m
即k1,k2有公约数m，与k1,k2互质矛盾
所以假设不成立
即k1,(k2 - k1)互质
所以gcb（x,x-y) = d = gcb(x,y)
综上，gcd(x,y)=gcd(x,y-x)。
#include
int GCD(int a, int b)
{
if (a < b)
{
a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;
}
while (b != 0)
{
a -= b;
if (a < b)
{
a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;
}
}
return a;
}
int main()
{
int a = 0;
int b = 0;
scanf("%d %d",&a,&b);
int gcd = GCD(a, b);
printf("%d",gcd);
return 0;
}
之后其他的解法就没什么公式了（质因数分解法，短除法，没看到像上面那样的公式）也可能是我自己没看到。
