【Java数据结构】二叉树到底是什么品种的树？以及二叉树有哪些基操
树型结构
概念
树的表示形式
树的应用
二叉树（重头戏）
概念
二叉树的基本形态
两种特殊的二叉树
二叉树的性质
二叉树的储存
二叉树的遍历（前中后序）
层序遍历
利用层序遍历，判断一棵树是不是完全二叉树
二叉树的基本操作
树型结构
概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i
<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。
节点的度： 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
叶子节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点；
双亲节点或父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
根结点： 一棵树中，没有双亲结点的结点；
节点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度： 树中节点的最大层次；
非终端节点或分支节点： 度不为0的节点；
兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
堂兄弟节点： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林： 由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林
树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。
这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
树的应用
- 文件系统管理（目录和文件）等
二叉树（重头戏）
概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
- 每个结点
最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。 - 二叉树的子树有
左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
二叉树的基本形态
上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：
空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在
一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。
两种特殊的二叉树
满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点
若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k -1 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 向上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
①若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
②若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
③若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
比如一道例题： 假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中__500__ 个叶子节点，__ 500___ 个非叶子节点 ， __ 1 __ 个节点只有左孩子 ，__0__个只有右孩子。
问题解析：
总共有多少层？k=log2(1000+1) =10层
如果是10层，那么放满也就是满二叉树，总共2^10-1 = 1023个节点，但是现在只有1000个，那么说明当前这个树，不是满二叉树
第10层肯定是没放满的！！！
说明第9层肯定放满了
那前9层共有多少个节点呢？2^9-1 = 511个
所以第10层有1000-511=489个节点，都是叶子节点
现在就要考虑一个问题，第10层的节点是由多少个第9层节点产生的？489/2=244.5取245个
第9层这一层有多少个节点？2^(9-1) = 256个
所以第9层有245个节点是有孩子的，其中有1个节点只有一个左孩子，所以第9层的叶子节点有256-245=11个,第9层第10层的叶子节点共有11+489 =500个
二叉树的储存
二叉树的存储结构分为： 顺序存储和类似于链表的链式存储
本文先介绍链式储存
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，
孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
二叉树的遍历（前中后序）
所谓 遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。 实现代码在后边基本操作里
层序遍历
层序遍历嘛，就是按层，从上到下，从左到右遍历，这个没啥好说的。
设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
代码实现： 设置一个队列，利用队列先入先出的性质实现层序遍历，每出队一个节点，就判断这个节点是否有左右孩子节点，如果有，就将孩子节点入队
利用层序遍历，判断一棵树是不是完全二叉树
二叉树的基本操作
前中后序遍历原理非常相似,都是采取递归思想，就是先判断当前根节点是否为空，然后三行代码交换位置玩，一行代表当前根节点的操作，一行代表左孩子节点，一行代表右孩子节点，每递归一次，左孩子节点或者右孩子节点就变成了当前递归方法中的当前根节点，他们继续访问他们的孩子节点，无限套娃，直到遇到空节点，再层层返回
求节点个数，其实最简单的就是采用前序遍历，每遍历一个节点，计数器size就加一，遍历完所有节点，size值就是节点的个数
还有一种方法求节点个数，子问题思路，整棵树的节点=左子树节点+右子树节点，把每个节点和它的孩子节点，看成一个整体，大事化小
遍历思路求叶子节点，叶子节点就是没有孩子的节点，故设置当遍历到左孩子和右孩子都为空的时候，叶子节点树+1
另一种求叶子节点数的方法和子问题求节点数的方法类似，不过要设置一个条件，左孩子和右孩子都为空的时候才返回 1，来表示当前节点是一个叶子节点
求第K层节点个数其只需要多设置一个参数k就好了，请看图解
查找节点也是递归思想
获取高度首先得知道一个递推公式
整棵树的高度 = 左子树高度 > 右子树高度?左子树高度 : 右子树高度
完整源码如下：
public class BinaryTree { public TreeNode createTree() { TreeNode A = new TreeNode('A'); TreeNode B = new TreeNode('B'); TreeNode C = new TreeNode('C'); TreeNode D = new TreeNode('D'); TreeNode E = new TreeNode('E'); TreeNode F = new TreeNode('F'); TreeNode G = new TreeNode('G'); TreeNode H = new TreeNode('H'); A.left = B; A.right = C; B.left = D; B.right = E; C.left = F; C.right = G; E.right = H; return A; } // 前序遍历 public void preOrderTraversal(TreeNode root){ if (root==null){ return; } System.out.print(root.value+" "); preOrderTraversal(root.left); preOrderTraversal(root.right); } // 中序遍历 public void inOrderTraversal(TreeNode root){ if (root==null){ return; } inOrderTraversal(root.left); System.out.print(root.value+" "); inOrderTraversal(root.right); } // 后序遍历 public void postOrderTraversal(TreeNode root){ if (root==null){ return; } postOrderTraversal(root.left); postOrderTraversal(root.right); System.out.print(root.value+" "); } // 遍历思路-求结点个数 前序遍历 static int size=0; public void getSize1(TreeNode root){ if (root==null){ return; } size++; getSize1(root.left); getSize1(root.right); } // 子问题思路-求结点个数 public int getSize2(TreeNode root){ if (root==null){ return 0; } return getSize2(root.left)+getSize2(root.right)+1; } // 遍历思路-求叶子结点个数 static int leafSize = 0; public void getLeafSize1(TreeNode root){ if(root == null) { return; } if(root.left == null && root.right == null) { leafSize++; } getLeafSize1(root.left); getLeafSize1(root.right); } // 子问题思路-求叶子结点个数 public int getLeafSize2(TreeNode root){ if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { return 1; } return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right); } // 子问题思路-求第 k 层结点个数 public int getKLevelSize(TreeNode root,int k){ if(root == null) { return 0; } if(k == 1) { return 1; } return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k-1); } // 查找 val 所在结点，没有找到返回 null // 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找 // 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找 public TreeNode find(TreeNode root, char val) { if (root == null){ return null; } if (root.value==val){ return root; } TreeNode ret = find(root.left,val); if (ret!=null){ return ret; } ret = find(root.right,val); if (ret!=null){ return ret; } return null; } // 获取二叉树的高度 public int getHeight(TreeNode root){ if (root==null){ return 0; } int leftHeight = getHeight(root.left); int rightHeight = getHeight(root.right); //return (getHeight(root.left) > getHeight(root.right) ? getHeight(root.left)+1 : getHeight(root.right)+1); return (leftHeight > rightHeight ? leftHeight : rightHeight)+1; } }
