Huffman tree

基本术语

• 路径和路径长度

  • 路径：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路。
  • 结点的路径长度：从一个结点到另一个结点的路径上分支的数目。

• 结点的权及带权路径长度

  • 结点的权:将树中结点赋予一个有着某种含义的数值。
  • 结点的带权路径长度：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

• 树的带权路径长度

  • 树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

• 赫夫曼树（ Huffman tree ）

  • 带权路径长度达到最小的二叉树即为赫夫曼树。

在所有含 n 个叶子结点、并带相同权值的二叉树中，必存在一棵其带权路径长度取最小值的树，称为“ 最优二叉树”。

构造 Huffman tree

基本思想：使权大的结点靠近根

• 根据给定的 n 个权值 {w1, w2, …, wn}，构造 n 棵二叉树的集合F = {T1, T2, … , Tn}，其中每棵二叉树中均只含一个带权值 为 wi 的根结点,其左、右子树为空树;
• 在 F 中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别作为左、

右子树构造一棵新的二叉树，并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和;

• 从F中删去这两棵树，同时加入

刚生成的新树;

• 重复上述两步，直至 F 中只含一棵树为止。

哈夫曼构造算法实现

一棵有 n 个叶子结点的Huffman树有 2n-1 个结点

• 采用顺序存储结构---一维结构数组

• 结点类型定义

  typedef struct {
      ElemType elem;  // 结点值
      int weight;  // 权值
      int parent, lch, rch;
  }HTNode, *HuffmanTree;

• 构造HuffmanTree

• • 输入初始n个叶子结点：置HT[1..n]的weight值

  • 进行以下n-1次合并，依次产生HT[i]，i=n+1..2n-1：

    • 在HT[1..i-1]中选两个未被选过的weight最小的两个结点HT[s1]和HT[s2] (从parent = 0 的结点中选)
    • 修改HT[s1]和HT[s2]的parent值： parent=i
    • 置HT[i]：weight=HT[s1].weight + HT[s2].weight ,lch=s1, rch=s2

Status CreatHuffmanTree(HuffmanTree HT, int n){
    if (n <= 1)  // 结点数量不合法
        return ERROR;
    int m = 2 * n - 1;
    int i;
    int s1, s2;
    HT = new HTNode[m + 1];  // 0号单元未用，HT[m]表示根结点   
    for (i = 1;i <= m;++i) {
        HT[i].lch = 0;
        HT[i].rch = 0;
        HT[i].parent = 0;
    }
    for (i = 1;i <= n;++i)
        // 输入权值
        cin >> HT[i].weight;
    for (i = n + 1;i <= m;++i) {
        // 构造Huffman树
        Select(HT, i - 1, &s1, &s2);  // 在HT[k](1≤k≤i-1)中选择两个其双亲域为0, 且权值最小的结点, 并返回它们在HT中的序号s1和s2
        if (s1 != 0 && s2 != 0) {
            HT[s1].parent = i;
            HT[s2].parent = i;  //表示从F中删除s1,s2
            HT[i].lch = s1;
            HT[i].rch = s2;  //s1,s2分别作为i的左右孩子
            HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;  //i 的权值为左右孩子权值之和
        }
    }
    return OK;
}

哈夫曼树的应用

哈夫曼编码

• 算法实现

  Status CreatHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode& HC, int n) {
      if (n <= 1)
          return ERROR;
      int start, i;
      int f = 0, c;
      HC = new char* [n + 1];
      char* cd = new char[n];
      cd[n - 1] = '0';
      for (i = 1; i <= n; ++i) {
          while (f != 0) {
              // 从叶子结点开始向上回溯，直到根结点
              start = n - 1;
              c = i;
              f = HT[i].parent;
              if (HT[f].lch == c) cd[start] = '0';
              else cd[start] = '1';
              c = f;
              f = HT[f].parent;
          }
          HC[i] = new char[n - start];  // 编码数组
          strcpy(HC[i], &cd[start]);
      }
      delete cd;
      cd = NULL;
      return OK;
  }

• 重要结论

  • 哈夫曼编码是不等长编码
  • 哈夫曼编码是前缀编码，即任一字符的编码都不是另一字符编码的前缀
  • 哈夫曼编码树中没有度为1的结点。若叶子结点的个数为n，则哈夫曼编码树的结点总数为 2n-1
  • 发送过程：根据由哈夫曼树得到的编码表送出字符数据
  • 接收过程：按左0、右1的规定，从根结点走到一个叶结点，完成一个字符的译码。反复此过程，直到接收数据结束