Android 面试常见 - 二分查找算法题

前言

金三银四，又是一个跳槽的季节。在面试的过程中，有时候难免会碰到一些算法题目。今天，为大家整理了二分查找常见的算法题。

主要包括以下三点

旋转数组中的最小数字

在旋转数组中查找某个数

排序数组中某个数的出现次数

旋转数组的最小数字

题目：把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3，4，5，1，2}为{1，2，3，4，5}的一个旋转，该数组的最小值为1.
实现数组的旋转见左旋转字符串。

解题思路

和二分查找法一样，用两个指针分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。

我们注意到旋转之后的数组实际上可以划分为两个排序的子数组，而且前面的子数组的元素都大于或者等于后面子数组的元素。我们还可以注意到最小的元素刚好是这两个子数组的分界线。我们试着用二元查找法的思路在寻找这个最小的元素。

首先我们用两个指针，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。按照题目旋转的规则，第一个元素应该是大于或者等于最后一个元素的（这其实不完全对，还有特例。后面再讨论特例）。

接着我们得到处在数组中间的元素。如果该中间元素位于前面的递增子数组，那么它应该大于或者等于第一个指针指向的元素。此时数组中最小的元素应该位于该中间 元素的后面。我们可以把第一指针指向该中间元素，这样可以缩小寻找的范围。同样，如果中间元素位于后面的递增子数组，那么它应该小于或者等于第二个指针指 向的元素。此时该数组中最小的元素应该位于该中间元素的前面。我们可以把第二个指针指向该中间元素，这样同样可以缩小寻找的范围。我们接着再用更新之后的 两个指针，去得到和比较新的中间元素，循环下去。

按照上述的思路，我们的第一个指针总是指向前面递增数组的元素，而第二个指针总是指向后面递增数组的元素。最后第一个指针将指向前面子数组的最后一个元素， 而第二个指针会指向后面子数组的第一个元素。也就是它们最终会指向两个相邻的元素，而第二个指针指向的刚好是最小的元素。这就是循环结束的条件。

核心实现代码：

 1int Min(int *numbers , int length)
 2{
 3    if(numbers == NULL || length <= 0)
 4        return;
 5
 6    int index1 = 0;
 7    int index2 = length - 1;
 8    int indexMid = index1;
 9    while(numbers[index1] >= numbers[index2])
10    {
11        if(index2 - index1 == 1)
12        {
13            indexMid = index2;
14            break;
15        }
16
17        indexMid = (index1 + index2) / 2;
18        //如果下标为index1、index2和indexMid指向的三个数字相等，则只能顺序查找
19        if(numbers[index1] == numbers[index2] && numbers[indexMid] == numbers[index1])
20            return MinInOrder(numbers , index1 , index2);
21
22        if(numbers[indexMid] >= numbers[index1])
23            index1 = indexMid;
24        else if(numbers[indexMid] <= numbers[index2])
25            index2 = indexMid;
26    }
27    return numbers[indexMid];
28}
29
30//顺序查找
31int MinInOrder(int *numbers , int index1 , int index2)
32{
33    int result = numbers[index1];
34    for(int i = index1 + 1 ; i <= index2 ; ++i)
35    {
36        if(result > numbers[i])
37            result = numbers[i];
38    }
39    return result;
40}

注意：当两个指针指向的数字及他们中间的数字三者相同的时候，我们无法判断中间的数字是位于前面的字数组还是后面的子数组中，也就无法移动两个指针来缩小查找的范围。此时，我们不得不采用顺序查找的方法。

2 旋转数组中查找某个数字
要求：一个没有重复元素的旋转数组（它对应的原数组是有序的），求给定元素在旋转数组内的下标（不存在的返回-1）。

例如

有序数组为｛0，1，2，4，5，6，7｝，它的一个旋转数组为｛4，5，6，7，0，1，2｝。

元素6在旋转数组内，返回2
元素3不在旋转数组内，返回-1

分析

1 遍历一遍，可以轻松搞定，时间复杂度为O(n)，因为是有序数组旋转得到，这样做肯定不是最优解。有序，本能反映用二分查找，举个例子看看特点
2 可以看出中间位置两段起码有一个是有序的（不是左边，就是右边），那么就可以在有序的范围内使用二分查找；如果不再有序范围内，就到另一半去找。

参考代码

 1int search(int A[], int n, int target) {
 2        int beg = 0;
 3        int end = n - 1;
 4        while (beg <= end)
 5        {
 6            int mid = beg + (end - beg) / 2;
 7            if(A[mid] == target)
 8                return mid;
 9            if(A[beg]  <= A[mid])
10            {
11                if(A[beg] <= target && target < A[mid])
12                    end = mid - 1;
13                else 
14                    beg = mid + 1;
15            }
16            else
17            {
18                if(A[mid] < target && target <= A[end])
19                    beg = mid + 1;
20                else
21                    end = mid - 1;
22            }
23        }
24        return -1;
25    }

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扩展

边的有求是没有重复的元素，现在稍微扩展下，可以有重复的元素，其他的要求不变。

思路：大致思路与原来相同，这是需要比较A[beg] 与　A[mid]的关系

1A[beg] <　A[mid] ————左边有序
2A[beg] >　A[mid] ————右边有序
3A[beg] =　A[mid] ————++beg

 1boolean search(int A[], int n, int target) {
 2        int beg = 0;
 3        int end = n - 1;
 4        while (beg <= end)
 5        {
 6            int mid = beg + (end - beg) / 2;
 7            if(A[mid] == target) 
 8                return true;
 9            if(A[beg] < A[mid])
10            {
11                if(A[beg] <= target && target < A[mid])
12                    end = mid - 1;
13                else
14                    beg = mid + 1;
15            }
16            else 0if(A[beg] > A[mid])
17            {
18                if(A[mid] < target && target <= A[end])
19                    beg = mid + 1;
20                else
21                    end = mid - 1;
22            }
23            else
24                ++beg;
25        }
26        return false;
27    }

3 数字在排序数组中的出现次数

 1//二分查找，二分查找key第一次出现的位置，二分查找最后一次出现的key
 2
 3//返回两者相减+1或者找到第一次出现的位置，向后查找
 4int binarySearchFirstPos(int * iArr, int l, int h, int key)
 5
 6{
 7
 8    while(l <= h )
 9
10    {
11
12        int mid  = (l + h) / 2;
13
14        if(iArr[mid] < key)
15
16            l = mid +1;
17
18        elseif(iArr[mid] > key)
19
20            h = mid - 1;
21
22        else
23
24        {
25
26            if(mid == l || iArr[mid - 1] != key)
27
28                return mid;
29
30            else 
31
32                h = mid - 1;
33
34        }
35
36    }
37
38    return -1;
39
40}
41
42int binarySearchLastPos(int * iArr, int l, int h, int key)
43
44{
45
46    while(l <= h)
47
48    {
49
50        int mid = (l + h) / 2;
51
52        if(iArr[mid] < key)
53
54            l =  mid + 1;
55
56        elseif(iArr[mid] > key)
57
58            h = mid - 1;
59
60        else
61
62        {
63
64            if(mid == h || iArr[mid + 1] != key)
65
66                return mid;
67
68            else
69
70                l = mid + 1;
71
72        }
73
74    }
75
76    return -1;
77
78}
79
80int numOfKey(int * iArr, int length, int key)
81
82{
83
84    int firstPos = binarySearchFirstPos(iArr, 0, length - 1, key);
85
86    int lastPos = binarySearchLastPos(iArr, 0, length - 1, key);
87
88    cout << firstPos << "\t" << lastPos << endl;;
89
90    if(firstPos == -1)
91
92        return0;
93
94    elsereturn lastPos - firstPos + 1;
95
96}