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更相损减法和辗转相除法 求最大公约数和最小公倍数(C语言)

简介:
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假设有两个数a和b,求a,b的最大公约数和最小公倍数实际上是一个问题,得出这两个数的最大公约数就可以算出它们的最小公倍数。

最小公倍数的公式是 a*b/m

m为最大公约数

因为

a=m*i; b=m*j;

最小公倍数为 m*i*j

那么,下面就开始计算a和b的最大公约数。

更相损减法:

《九章算術·方田》作分數約簡時,提到求最大公因數方法:反覆把兩數的較大者減去較小者,直至兩數相等,這數就是最大公因數。這方法除了把除法換作減法外,與輾轉相除法完全相同。例如書中求91和49的最大公因數:

  1. 91 > 49, 91 - 49 = 42
  2. 49 > 42, 49 - 42 = 7
  3. 42 > 7, 42 - 7 = 35
  4. 35 > 7, 35 - 7 = 28
  5. 28 > 7, 28 - 7 = 21
  6. 21 > 7, 21 - 7 = 14
  7. 14 > 7, 14 - 7 = 7
  8. 7 = 7, 因此91和49的最大公因數是7

辗转相除法:

輾轉相除法是利用以下性質來確定兩個正整數 ab的最大公因數的:

  1. ra ÷ b 的餘數, 則

gcd(a,b) = gcd(b,r)

  1. a 和其倍數之最大公因數為 a

另一種寫法是:

  1. a ÷ b,令r為所得餘數(0≤rb

r = 0,演算法結束;b 即為答案。

  1. 互換:置 abbr,並返回第一步。

这个算法可以用递归写成如下:

  function gcd(a, b) {

  if a mod b<>0

  return gcd(b, a mod b);

  else

  return a;

  }

  或纯使用循环:

  function gcd(a, b) {

  define r as integer;

  while b ≠ 0 {

  r := a mod b;

  a := b;

  b := r;

  }

  return a

  }

  其中“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数。

C语言:

#include<stdio.h>



int gcd(int a,int b)//最大公约数

{

if (a<b) return gcd(b,a);

else if (b==0) return a;

else return gcd(b,a%b);

}



int lcm(int a,int b)

{

return a*b/gcd(a,b);

}



main()

{

int a,b;

scanf("%d%d",&a,&b);

printf("最大公约数:%d\n",gcd(a,b));

printf("最小公倍数:%d\n",lcm(a,b));

}


 

输入两个正整数m和n, 求其最大公约数和最小公倍数. <1>用辗转相除法求最大公约数 算法描述: m对n求余为a, 若a不等于0 则 m <- n, n<- a, 继续求余 否则 n 为最大公约数<2> 最小公倍数 = 两个数的积 / 最大公约数
#include int main()
{
int m, n; int m_cup, n_cup, res;
printf("Enter two integer:\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
if (m > 0 && n>0)
  {
    m_cup =m;
    n_cup =n;
    res = m_cup% n_cup;
    while (res!= 0)
     {
      m_cup = n_cup;
      n_cup = res;
      res = m_cup % n_cup;
     }
     printf("Greatestcommon divisor: %d\n", n_cup);
     printf("Leasecommon multiple : %d\n", m * n / n_cup);
   }
  else printf("Error!\n");
  return 0;
}
关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的《九章算术》中就有记载,现摘录如下:约分术曰:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。”其中所说的“等数”,就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法,实际上就是辗转相除法。辗转相除法求最大公约数,是一种比较好的方法,比较快。对于52317和75569两个数,你能迅速地求出它们的最大公约数吗?一般来说你会找一找公共的使因子,这题可麻烦了,不好找,质因子大。现在教你用辗转相除法来求最大公约数。先用较大的75569除以52317,得商1,余数23252,再以52317除以23252,得商2,余数是5813,再用23252做被除数,5813做除数,正好除尽得商数4。这样5813就是75569和52317的最大公约数。你要是用分解使因数的办法,肯定找不到。那么,这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢?下面我就给大伙谈谈。比如说有要求a、b两个整数的最大公约数,a>b,那么我们先用a除以b,得到商8,余数r1:a÷b=q1…r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式:a=bq1+r1------l)如果r1=0,那么b就是a、b的最大公约数3。要是r1≠0,就继续除,用b除以r1,我们也可以有和上面一样的式子:b=r1q2+r2-------2)如果余数r2=0,那么r1就是所求的最大公约数3。为什么呢?因为如果2)式变成了b=r1q2,那么b1r1的公约数就一定是a1b的公约数。这是因为一个数能同时除尽b和r1,那么由l)式,就一定能整除a,从而也是a1b的公约数。反过来,如果一个数d,能同时整除a1b,那么由1)式,也一定能整除r1,从而也有d是b1r1的公约数。这样,a和b的公约数与b和r1的公约数完全一样,那么这两对的最大公约数也一定相同。那b1r1的最大公约数,在r1=0时,不就是r1吗?所以a和b的最大公约数也是r1了。有人会说,那r2不等于0怎么办?那当然是继续往下做,用r1除以r2,……直到余数为零为止。在这种方法里,先做除数的,后一步就成了被除数,这就是辗转相除法名字的来历吧。


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