递归关系求解

问题

假设：一个反应器中有两类粒子α和β，设每秒钟一个α粒子分裂成3个β粒子，而每秒钟一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子。假如在t=0时：反应器中有一个α粒子，求t秒时反应器中α粒子和β粒子的数目。

根据关系列出递归关系

a(t) = b(t-1)
b(t) = 3*a(t-1) + 2*b(t-1)

参考程序

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define A_size 5 
int aa(int size)   //aa(t)表示t时刻α的个数
{
    if (size == 0)
        return 1;
    else
        return bb(size-1);
}
int bb(int size)   //bb(t)表示t时刻β的个数
{
    if (size == 0)
        return 0;
    else
        return 3 * aa(size-1) + 2 *  bb(size-1);
}
int main()
{
    printf("%d\n", aa(A_size) + bb(A_size));
    return 0;
}

结果：243

a(t) = b(t-1)
b(t) = 3*a(t-1) + 2b(t-1)
得：
a(t-1)=b(t-2)
b(t) = 3*a(t-1) +2*b(t-1)
      =3* b(t-2) + 2* b(t-1) (t>=2)
根据已知条件知：a(0)=1 a(1)=0   b（0）=0 b(1)=3

得到递归关系：b(t) = 2*b(t-1) + 3*b(t-2)，这是一个常系数齐次线性方程。为了求解看下解常系数齐次线性方程的一般方法。

解常系数齐次线性方程的一般方法

首先区分

特征方程与特征值

 求解通解的步骤

1.根据递归关系得出特征方程，求解方程得到特征根；

2.表示出通解的一般形式（分为是否有重根）；

3.代入初始值得到系数，从而得到通解。

就本题演示一般步骤

1.把递归关系b(n)=2*b(t-1) + 3*b(t-2),表示为特征方程：x²=2x+3,得到特征值-1和3;

2.没有重根，通解表示为b(t) = c₁*(-1)ⁿ +　c₂*(3)^n;

^{3.带入初始值，得到c₁=-3/4   c₂ = 3/4,}

从而得到通解：b(t) = -3/4 *(-1)ⁿ +　1/4 *(3)^{n+1
                      a(t) = -3/4 *(-1)n-1 +　1/4 *(3)n}  (t>=2)

本文转自jihite博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/kaituorensheng/p/3155660.html，如需转载请自行联系原作者