汉诺塔问题

汉诺塔问题源自印度一个古老的传说，印度教的“创造之神”梵天创造世界时做了 3 根金刚石柱，其中的一根柱子上按照从小到大的顺序摞着 64 个黄金圆盘。梵天命令一个叫婆罗门的门徒将所有的圆盘移动到另一个柱子上，移动过程中必须遵守以下规则：

• 每次只能移动柱子最顶端的一个圆盘；
• 每个柱子上，小圆盘永远要位于大圆盘之上；

图 1 给您展示了包含 3 个圆盘的汉诺塔问题：

 

图1：汉诺塔问题

一根柱子上摞着 3 个不同大小的圆盘，那么在不违反规则的前提下，如何将它们移动到另一个柱子上呢？图 2 给大家提供了一种实现方案：

图2：汉诺塔问题的解决方案

汉诺塔问题中，3 个圆盘至少需要移动 7 次，移动 n 的圆盘至少需要操作 2ⁿ-1 次。

在汉诺塔问题中，当圆盘个数不大于 3 时，多数人都可以轻松想到移动方案，随着圆盘数量的增多，汉诺塔问题会越来越难。也就是说，圆盘的个数直接决定了汉诺塔问题的难度，解决这样的问题可以尝试用分治算法，将移动多个圆盘的问题分解成多个移动少量圆盘的小问题，这些小问题很容易解决，从而可以找到整个问题的解决方案。

分治算法解决汉诺塔问题

为了方便讲解，我们将 3 个柱子分别命名为起始柱、目标柱和辅助柱。实际上，解决汉诺塔问题是有规律可循的：

1) 当起始柱上只有 1 个圆盘时，我们可以很轻易地将它移动到目标柱上；

2) 当起始柱上有 2 个圆盘时，移动过程如下图所示：

图3：移动两个圆盘

移动过程是：先将起始柱上的 1 个圆盘移动到辅助柱上，然后将起始柱上遗留的圆盘移动到目标柱上，最后将辅助柱上的圆盘移动到目标柱上。

3) 当起始柱上有 3 个圆盘时，移动过程如图 2 所示，仔细观察会发现，移动过程和 2 个圆盘的情况类似：先将起始柱上的 2 个圆盘移动到辅助柱上，然后将起始柱上遗留的圆盘移动到目标柱上，最后将辅助柱上的圆盘移动到目标柱上。

通过分析以上 3 种情况的移动思路，可以总结出一个规律：对于 n 个圆盘的汉诺塔问题，移动圆盘的过程是：

1. 将起始柱上的 n-1 个圆盘移动到辅助柱上；
2. 将起始柱上遗留的 1 个圆盘移动到目标柱上；
3. 将辅助柱上的所有圆盘移动到目标柱上。

由此，n 个圆盘的汉诺塔问题就简化成了 n-1 个圆盘的汉诺塔问题。按照同样的思路，n-1 个圆盘的汉诺塔问题还可以继续简化，直至简化为移动 3 个甚至更少圆盘的汉诺塔问题。

如下为分治算法解决汉诺塔问题的伪代码：

// num 表示移动圆盘的数量，source、target、auxiliary 分别表示起始柱、目标柱和辅助柱

hanoi(num , source , target , auxiliary):

   if num == 1:     // 如果圆盘数量仅有 1 个，则直接从起始柱移动到目标柱

       print(从 source 移动到 target)

   else:

       // 递归调用 hanoi 函数，将 num-1 个圆盘从起始柱移动到辅助柱上，整个过程的实现可以借助目标柱

       hanoi(num-1 , source , auxiliary , target)

       // 将起始柱上剩余的最后一个大圆盘移动到目标柱上

       print(从 source 移动到 target)

       // 递归调用 hanoi 函数，将辅助柱上的 num-1 圆盘移动到目标柱上，整个过程的实现可以借助起始柱              

       hanoi(n-1 , auxiliary , target , source)

汉诺塔问题的代码实现

根据伪代码，我们为大家编写好了相应的 C 语言、Java 以及 Python 程序。

如下是解决汉诺塔问题的 C 语言程序：

1. #include <stdio.h>
2. void hanoi(int num, char sou, char tar,char aux) {
3. //统计移动次数
4. static int i = 1;
5. //如果圆盘数量仅有 1 个，则直接从起始柱移动到目标柱
6. if (num == 1) {
7. printf("第%d次:从 %c 移动至 %c\n", i, sou, tar);
8.        i++;
9. }
10. else {
11. //递归调用 hanoi() 函数，将 num-1 个圆盘从起始柱移动到辅助柱上
12. hanoi(num - 1, sou, aux, tar);
13. //将起始柱上剩余的最后一个大圆盘移动到目标柱上
14. printf("第%d次:从 %c 移动至 %c\n", i, sou, tar);
15.        i++;
16. //递归调用 hanoi() 函数，将辅助柱上的 num-1 圆盘移动到目标柱上
17. hanoi(num - 1, aux, tar, sou);
18. }
19. }
20. 
    
21. int main()
22. {
23. //以移动 3 个圆盘为例，起始柱、目标柱、辅助柱分别用 A、B、C 表示
24. hanoi(3, 'A', 'B', 'C');
25. return 0;
26. }

如下是解决汉诺塔问题的 Java 程序：

1. public class Demo {
2. // 统计移动次数
3. public static int i = 1;
4. 
   
5. public static void hanoi(int num, char sou, char tar, char sux) {
6. // 如果圆盘数量仅有 1 个，则直接从起始柱移动到目标柱
7. if (num == 1) {
8.            System.out.println("第" + i + "次:从" + sou + "移动到" + tar);
9.            i++;
10. } else {
11. // 递归调用 hanoi() 函数，将 num-1 个圆盘从起始柱移动到辅助柱上
12. hanoi(num - 1, sou, sux, tar);
13. // 将起始柱上剩余的最后一个大圆盘移动到目标柱上
14.            System.out.println("第" + i + "次:从" + sou + "移动到" + tar);
15.            i++;
16. // 递归调用 hanoi() 函数，将辅助柱上的 num-1 圆盘移动到目标柱上
17. hanoi(num - 1, sux, tar, sou);
18. }
19. }
20. 
    
21. public static void main(String[] args) {
22. // 以移动 3 个圆盘为例，起始柱、目标柱、辅助柱分别用 A、B、C 表示
23. hanoi(3, 'A', 'B', 'C');
24. }
25. }

如下是解决汉诺塔问题的 Python 程序：

纯文本复制

1. #记录移动次数
2. i = 1
3. def hanoi(num,sou,tar,aux):
4. global i
5. if num==1:
6. print("第%d次:从 %c 移动至 %c" % (i, sou, tar))
7.        i=i+1
8. else:
9. #递归调用 hanoi() 函数，将 num-1 个圆盘从起始柱移动到辅助柱上
10. hanoi(num - 1, sou, aux, tar)
11. #将起始柱上剩余的最后一个大圆盘移动到目标柱上
12. print("第%d次:从 %c 移动至 %c" % (i, sou, tar))
13.        i=i+1
14. #递归调用 hanoi() 函数，将辅助柱上的 num-1 圆盘移动到目标柱上
15. hanoi(num - 1, aux, tar, sou)
16. 
    
17. #以移动 3 个圆盘为例，起始柱、目标柱、辅助柱分别用 A、B、C 表示
18. hanoi(3, 'A', 'B', 'C');

以上程序的执行结果均为：

第1次:从 A 移动至 B

第2次:从 A 移动至 C

第3次:从 B 移动至 C

第4次:从 A 移动至 B

第5次:从 C 移动至 A

第6次:从 C 移动至 B

第7次:从 A 移动至 B