一、约瑟夫环问题介绍
def josephus(n, m):
people = list(range(1, n + 1))
index = 0
while len(people) > 1:
index = (index + m - 1) % len(people)
eliminated_person = people.pop(index)
print(f"淘汰的人是：{eliminated_person}")
return people[0]
n = 8 # 总人数
m = 3 # 每次报到 m 的人被淘汰
last_person = josephus(n, m)
print(f"最后剩下的人是：{last_person}")
约瑟夫环问题是一个经典的数学问题。问题描述通常为：n 个人围成一圈，从第一个人开始报数，每次报到 m 的人将被淘汰，如此循环，直到最后只剩下一个人。
二、理解方式
形象化理解
- 可以想象成 n 个小朋友围成一圈玩游戏。有一个裁判从第一个小朋友开始数数，每数到 m，那个小朋友就被要求离开圈子。然后继续从下一个小朋友开始数数，重复这个过程，直到只剩下一个小朋友。
- 例如有 7 个人，从 1 开始报数，每次报到 3 的人被淘汰。第一轮，第 3 个人被淘汰；第二轮，第 6 个人被淘汰；第三轮，第 2 个人被淘汰；第四轮，第 7 个人被淘汰；第五轮，第 5 个人被淘汰；第六轮，第 1 个人被淘汰；最后剩下第 4 个人。
数学角度理解
- 可以通过数学推导来分析问题。假设编号从 0 开始，对于 n 个人，第一次淘汰的是 (m - 1)%n 位置的人。然后剩下 n - 1 个人，此时从被淘汰的下一个人开始重新编号，原来的编号为 k 的人在新编号体系下变为 (k - (m - 1)%n)%n。这样不断递归下去，直到只剩下一个人。
三、推测最后一人的方法
模拟法
- 就像前面给出的代码那样，通过模拟整个淘汰过程，逐步淘汰人，直到只剩下最后一个人。这种方法直观易懂，但对于较大的 n 和 m 可能效率较低。
- 每次淘汰一个人后，更新剩余人的编号和总数，不断重复这个过程，直到只剩下一个人。
数学推导法
- 利用递推公式可以逐步计算出最后一个人的编号。对于有 n 个人，每次数到 m 淘汰一个人，设 f(n,m)表示最后剩下的人的编号，则有递推公式：f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n，其中 f(1,m)=0。通过从 f(2,m)开始逐步计算到 f(n,m)，就可以得到最后一个人的编号。
- 例如当 n = 7，m = 3 时，f(2,3)=(f(1,3)+3)%2 = 1；f(3,3)=(f(2,3)+3)%3 = 1；f(4,3)=(f(3,3)+3)%4 = 0；f(5,3)=(f(4,3)+3)%5 = 3；f(6,3)=(f(5,3)+3)%6 = 0；f(7,3)=(f(6,3)+3)%7 = 4。所以最后剩下的人的编号是 4。
