2024年江西省研究生数学建模竞赛C题： 聚变反应堆设计 问题分析、实现代码及参考论文
1 题目
聚变能是一种核能形式，它的主要应用方式是通过大型基本负荷发电站进行电力供应。和 其它能量供应方式相比，聚变能在燃料蕴藏量、环境影响和安全性都有很大的优势。聚变反 应主要是通过氘核(D)和氚核(T)发生反应产生α粒子和中子，并释放能量，我们称之为DT反 应。在自然界中选取这两种很轻的元素进行聚变反应和元素的结合能有关。从微观角度看， 氘核和氚核之间的碰撞引起核聚变，该过程和(反应)截面、平均自 由程、碰撞频率、碰撞时 间和反应速度等概念有关。
图 1: ARIES-AT商业聚变反应堆的截面图[1]
磁约束聚变反应堆通过磁场把热等离子体约束到一个环形的三维区域（拓扑结构等价于轮 胎内部） 中。和等离子体最接近的一层称为“ 第一壁 ”，磁场的约束确保热等离子体和第一 壁不接触。第一壁的外层是包层（Blanket I,Blanket II） ，它是进行能量转换的地方。 围绕 包层是屏蔽层(HT shield) ，用来保护磁体和工厂免受中子和°射线的辐射。最后，在屏蔽层的外面安装的是生产磁场的线圈(coil) 。聚变反应堆的一个截面如图1所示。
包层和屏蔽层(Shield)的结构如图2所示。包层包括中子倍增区(Neutron multiplier) 、 中子 慢化区(Moderator)和燃料倍增区(Breeder) 。紧临第一壁(First wall)的是中子倍增区，它被用 来产生中子以补充包层内各种不可避免的中子损失，例如，在冷却管道(Cooling tubes)中冷 却液和结构材料等的吸收引起的损失。聚变产生的14.1 MeV中子穿过相对较薄的中子倍增区 剂区，其中部分中子将通过倍增反应产生两个新的中子。在往外的是中子慢化区。慢化剂将 快中子慢化为热中子，使它们可以很容易地被6 Li俘获。有多种锂化物可作为慢化剂，它们依 包层的具体要求可分为固态、液体金属或熔岩。燃料增殖区也称氚增殖区，其中的反应参考 附件。包层本身由屏蔽层包裹着，屏蔽层的作用是吸收逃离出包层的中子以及由次级核反应 产生的°射线。这种吸收层必须做到基本上彻底， 因为屏蔽层外面运行在5K 到10 K温度下的 超导线圈，通常采用低温冷却系统，磁体的可承受的热负荷很小。嵌入包层的是一套冷却管 道。冷却剂可以是液体或气体，它的作用就是带走高温粒子慢化放出的聚变产生的热量。聚 变能正是由此通过适当的热转换系统最终转化为电能。这是聚变发电反应堆的一个主要目
标。
图 2: 第一壁、包层和屏蔽层结构[1]
为 了简化讨论，各层都简化为环形结构，截面如图3所示。 中间的线表示轮胎的旋转中心 对称轴，过对称轴做一个截面就是图3 。a 、b和c分别是等离子体的小半径、包层/屏蔽层的厚度和磁体的厚度。R0 为截面中心到对称轴的距离，称为大半径。
图 3: 环形截面[1]
在设计反应堆时，需要考虑四个工程约束和三个核物理约束，这些约束直接影响到反应堆 的设计。 四个工程约束介绍如下。
首先 ， 典型的大型电站产出的电力大约1000 MW ， 我们的反应堆按该值进行设计， 记PE =1000 MW。
其次，第一壁的壁负载存在极限。为了不对壁材料造成不可接收的损伤，通过第一壁的单 位面积功率存在安全上限。壁负荷的主要来源是通过第一壁的En = 14.1 MeV的中子。它们 以角度均匀的功率分布沉积在四周。这种中子通量能导致各种辐射引起第一壁材料的损伤， 包括溅射、脆化等。现有材料的研究表明，负载极限可取为1~6 MWm2 。我们取单位面积的 壁负载为PW = 4 MW/m2。工程的第三个约束是超导磁体的电性能。为使得磁体保持其超导性，它的温度T 、 电流密 度J以及磁场B必须满足约束条件；否者，超导磁体恢复到超导性能相对较低的状态。我们 取最大磁场为Bmax = 13 T。第四个工程约束也与磁场有关。强场磁体会因自生磁压产生巨大的力。如果没有足够牢固 的结构支撑系统，这种磁力可以令磁体完全解体。强场超导磁体的规模和成本受到结构支持 系统的制约。 因此磁体设计的关键参数取决于支持结构（通常是不锈钢）的最大允许应力。 取最大允许平均应力为σmax =300 MPa。三个核物理约束介绍如下。第一个制约因素是DT聚变反应截面的大小。 由于反应截面与每秒发生的聚变反应数目有关， 因此它最终决定了给定体积所需的等离子体压强。 比如，在 温度T = 15 keV 时，反应截面约束为(σv〉= 3 × 10¡22m3 /s。第 二 个核物理约束 因 素 与 包层有关 。 通过锂-中子反应来获得好的氚增殖 ， 要求 将En = 14.1 Mev 中子减速至慢速度，即它变为Et = 0.025 eV热中子。这个通过包层的锂材 料与中子慢化材料相结合实现的。慢化材料中慢化中子的平均自由程是一个关键参数，它在 很大程度上决定了包层的厚度。我们取慢化截面为σsd = 1 b(靶恩)。
第三个核物理约束也和包层有关。 中子一旦被慢化材料慢化，就很容易被6 Li 捕获来增殖 氚，捕获截面称为第三个约束。Et = 0.025 eV热中子的氚增殖截面为σbr = 950 b(靶恩)。
问题1： 建立模型分析慢化区/增殖区中温度和中子通量的变化，并确定它们的厚度b的大 小。
问题2： 建造核反应堆的总资金成本包括两方面： 固定成本KF 和核岛成本KI 。 固定成本 是指与能源种类(如聚变、裂变、化石燃料等)无关的基本相同部分。这些成本包括涡轮机 组、发电机组、建设设施等。核岛成本是指与核聚变装置直接相关的成本， 它们主要由包 层-屏蔽和磁体这样的大的工件的建设成本决定。假设固定成本与电力输出PE 成正比，核反 应堆的设计的目的是极小化单位电力输出需要的总资金。针对上述的工程约束和核物理约 束，如何确定核反应堆的尺寸(a,b,c, R0 )使得该目标函数达到最小。
问题3： 对于您在问题2中设计的参数，计算下面物理量：功率密度、等离子体的压强、温 度、数密度。粒子需要加热直到发生聚变反应，分析最低的点火要求，并确定等离子体稳态 运行的持续时间τE。
问题4： 除了等离子体的环形结构外，请对其它结构进行尝试和分析。
参考文献
[1] J. P. Freidberg, Plasma Physics and Fusion Energy, Cambridge University Press, 2007
