程序员必知：循环群、对称群、陪集和拉格朗日定理、正规子群和商群

元素的阶

设是群，a∈G,a的整数次幂可归纳定义为：

a0 = e

an+1 = an· a, n∈N

a-n = (a-1)n, n∈N

容易证明，?m,n∈I,am··an = am+n, (am)n = amn.

定义：设是群，a∈G,若?n∈I+,an ≠ e,则称a的阶是无限的；否则称使得an = e的最小整数n为a的阶，此时a的阶也称为a的周期，常用|a|表示

在群中，?i∈I - {0}，i的阶都是无限的

在群

定理：设是群，a∈G，且|a| = n，k∈I，则

循环群

循环群：在群(G，·)中，若存在a∈G,使得G = {an | n∈G}，则称(G,·)为循环群。

(Z，+)是一个无限阶循环群，生成元是1和-1

循环群的结构相当简单，我们完全可以刻画出全部循环群的同构类

定理：设群G = (a),则循环群只有两种。若|a|无限，则G≌；若|a|=n∈I+，则 G≌

由本定理有，同阶的循环群必同构，因此把n阶循环群记作Cn

推论：设G是n阶有限群,a∈G，则G = (a)当且仅当|a| = n。

就是上面定理的推论，此推论说明循环群生成元的阶与群的阶是相同的

定理：设群G=(a)

若G是无限群，则G只有两个生成元a和a-1

若|G| = n∈I+，则G=(ar)当且仅当(r,n) = 1，即生成元有φ(n)个，其中φ(n)为欧拉函数

证：

（1）必要性：已知a是生成元，因为a = (a-1)-1，所以a-1也是生成元。充分性：设am∈G是生成元，即G = (am)，因为a∈G，所以?t∈I，使得a = (am)t，所以amt-1=e.因为G是无限群，mt-1=0，故m=t=1或m=t=-1，故只有两个生成元a和a-1.

（2）必要性：设G=(ar)，由前面的推论知|ar| = n，由前面关于元素的阶的定理得

例如：设G为12阶循环群{e,a,a2,...,a11}，因为与12互质的12以内的数有1,5,7,11,所以G有4个生成元，分别是a,a5,a7,a11.

定理：设群G=(a)，|G|=n，则对于n的每个正因子d，有且仅有一个d阶子群，因此，n阶循环群的子群的个数恰为n的正因子的个数.

例如：12阶循环群有6个子群，分别是(a),(a2),(a3),(a4),(a6),(a12).

变换群

我们知道，给定一个集合A，是亚群，其中°是函数合成运算，令PA为A到A的所有双射的集合，则

是群，其中1A是单位元，每个f∈PA的逆元是其逆函数f-1.

变换群：设A为集合，群

的子群称为A的变换群

Cayley定理：任意一个群都与某个变换群同构。证明略

置换群是特殊的变换群，在代数中有重要地位

对称群和置换群

对称群：设S是非空有限集，Sn是S的所有置换的集合（n是集合的基数），°是函数的复合运算，则是一个群，称作n次对称群。易知|Sn| = n!

置换群：对称群的子群称为置换群，含有n个元素的子群称为n次置换群

作为Cayley定理的直接推论，我们有

推论：任意一个有限群都与某个置换群同构

置换还有第二种表示方法，为此需要引入循环的概念

定义：把S中的元素i1变成i2，i2变成i3，... ik又变成i1，并使S中的其余元素保持不变的置换称为循环，也称轮换，记(i1 i2 ... ik)，k称为循环长度。特别的，长度为2的循环称为对换.

注意，同一循环的表示并不唯一。长度为1的循环是恒等置换。

例如：

定理：

任意置换都可表示成若干无公共元素的循环之积

任意置换都可表示成若干个对称之积，且对换个数的奇偶性不变

陪集

定义：设H是群G的子群，a∈G.

集合a·H = {a·h | h∈H} 称为H关于a的左陪集

集合H·a = {h·a | h∈H} 称为H关于a的右陪集

定理：设H是群G的子群，在G上定义二元关系R为：对任意a,b∈G，(a,b)∈R当且仅当b-1a∈H，则R是G上的等价关系，且其对应的等价类与左陪集相同，为R(a) = a·H。类似的，在G上定义二元关系R为：对任意a,b∈G，(a,b)∈R当且仅当ab-1∈H，则R是G上的等价关系，且其对应的等价类与右陪集相同，为R(a) = H·a。

证：（1）先证明R是等价关系，自反性：?a∈G，因为a-1 · a = e∈H，所以aRa。对称性：：?a,b∈G，若aRb，b-1 · a∈H，由于H是群，一个元素的逆元也在群中，所以(b-1 · a)-1∈H，所以bRa。传递性：?a,b,c∈G，若aRb和bRc，即b-1 · a∈H，c-1 · b∈H，H是群，则满足封闭性，所以c-1 · a = (c-1 · b) · (b-1 · a) ∈H,即aRc。

（2）再证明R(a) = aH，对?x∈R(a)，有aRx，由对称性知xRa，即a-1x∈H，因此存在h∈H，使得a-1x = h，即x=ah∈aH，得到R(a)?aH;反过来，假设x∈aH，则存在h∈H，使得x=ah，即a-1x=h，所以xRa，得到aH?R(a);综上的，R(a) = aH

定理：H是G的有限子群，?a∈H，|aH| = |Ha| = |H|.

该定理说明同一子群的左陪集和右陪集的基数相等，且等于子群的基数

定理：所有左陪集的个数等于所有右陪集的个数

证：只需给出SL和SR之间的双射即可。

该定理是指陪集本身的个数，上一个定理是指陪集中元素的个数，是不同的

定义：设H是群G的子群，H在G中所有左（右）陪集的个数称为H在G中的指数，记作【G,H】

拉格朗日定理

Lagrange定理：设H设有限群G的子群，则|H|整除|G|，且|G| = |H| * //代码效果参考：http://www.zidongmutanji.com/bxxx/376218.html

推论一：有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶

证：?a∈G，(a)≤G，所以|(a)|整除|G|，即|a|整除|G|

推论二：质数阶的群必为循环群

证：设G是p阶群，其中p是质数，由(1)，?a∈G，|a|整除p，若a≠e，则|a| ≠ 1，所以|a| = p，故G = (a).

正规子群与商群

正规子群：设H是G的子群，若?a∈G,aH = Ha，则称H是G的正规子群，或正则子群、不变子群，记作H?G

在正规子群中左陪集和右陪集相等，因此统称为陪集

例如：

Abel群的子群都是正规子群

任意群都有两个平凡正规子群，即{e}和它本身

定理：设H ≤ G,H?G当且仅当?a∈G，aHa-1?H

该定理可用来判定是否为正规子群

定理：设H ≤ G,则G关于H的陪集关系R是G上的同余关系

证：前面已经证明过R是等价关系，下面证明R关于·满足置换性质.

?a,b,c,d∈G，若aRb,cRd，则aH = Hb,cH = Hd，所以(ac)H = a(cH) = a(Hd) = (aH)d = (Hb)d = H(bd).故(ac)R(bd)。

注：

群的任意子群的左（右）陪集关系不一定是群上的同余关系，但是正规子群的陪集关系一定是

正规子群可诱导出同余关系，反之，同余关系也可以诱导出正规子群

商群：设(H,·)是(G,·)的一个正规子群，定义G/H为{Ha |a∈G}，对任意的Ha,Hb∈G/H，定义G/H上的运算°为Ha ° Hb = Hab，(补充完整是(H·a) ° (H·b) = H·a·b)，则(G/H,°)构成一个群，称为G关于H的商群

证：证明其是一个群，良性的、封闭性、结合性、有单位元、有逆元。略。

例如：

参考链接：中国大学mooc 刘铎 离散数学

元素的阶循环群变换群对称群和置换群陪集拉格朗日定理正规子群与商群

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