数据·结构-阿里云开发者社区

1.概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

即AVL树满足以下条件：

它的左右子树都是AVL树

左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

比如：

2.定义

AVL树节点的定义：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
  AVLTreeNode<K, V>* _left;// 该节点的左孩子
  AVLTreeNode<K, V>* _right;// 该节点的右孩子
  AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 该节点的双亲
  int _bf; // 该节点的平衡因子
  pair<K, V> _kv;
 
  AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
    :_left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    , _parent(nullptr)
    , _bf(0)
    , _kv(kv)
  {}
};

3.插入

那么如何用算法实现AVL树呢？

其实AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。

那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点

调整节点的平衡因子

即第一步我们就把二叉搜索树的插入代码copy一份过来，进行一定的修改：

template<class K, class V>
class AVLTree
{
  typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
  bool Insert(const pair<K, V>& kv)
  {
/********* 普通二叉搜索树的插入 *********/
    if (_root == nullptr)
    {
      _root = new Node(kv);
      return true;
    }
 
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
      if (cur->kv.first < kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_right;
      }
      else if (cur->kv.first > kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_left;
      }
      else
      {
        return false;
      }
    }
 
    cur = new Node(kv);
    if (parent->_kv.first < kv.first)
    {
      parent->_right = cur;
    }
    else
    {
      parent->_left = cur;
    }
    cur->_parent = parent;
/**************************************/
 
    return true;
  }
 
private:
  Node* _root = nullptr;
};

然后第二步就是调整平衡因子，让左右子树高度之差（平衡因子）不超过1.

当cur插入后，cur的父亲节点parent的平衡因子一定需要调整，再插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1、0、1（插入之前一定满足AVL树规则），我们默认平衡因子=右子树高度-左子树高度，那么就分为以下两种情况：

如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可

如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可

如果parent的平衡因子发生了变化，那么就证明祖先有可能会受影响，就要向上继续更新。

这里我们同样需要分情况讨论：

此时parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2。

如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功，且高度没有发生变化。

如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新。

如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行『旋转』处理。

我们把上述逻辑转化成代码：

template<class K, class V>
class AVLTree
{
  typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
  bool Insert(const pair<K, V>& kv)
  {
/********* 普通二叉搜索树的插入 *********/
    if (_root == nullptr)
    {
      _root = new Node(kv);
      return true;
    }
 
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
      if (cur->kv.first < kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_right;
      }
      else if (cur->kv.first > kv.first)
      {
        parent = cur;
        cur = cur->_left;
      }
      else
      {
        return false;
      }
    }
 
    cur = new Node(kv);
    if (parent->_kv.first < kv.first)
    {
      parent->_right = cur;
    }
    else
    {
      parent->_left = cur;
    }
    cur->_parent = parent;
/**************************************/
 
/************* 调整平衡因子 ************/
        while (parent)
    {
            // 更新双亲的平衡因子
      if(cur == parent->left)
        parent->_bf--;
      else
        parent->_bf++;
            
            // 更新后检测双亲的平衡因子
      if (parent->_bf == 0)
      {
        break;
      }
      else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
      {
        cur = cur->_parent;
        parent = parent->_parent;
      }
      else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
      {
        // 旋转处理
      }
      else
      {
        // 插入之前AVL树就有问题
        assert(false);
      }
    }
 
    return true;
  }
 
private:
  Node* _root = nullptr;
};

4.旋转

当节点的平衡因子为正负2时，则需要我们对该子树进行旋转处理。

那旋转最重要的是不能破坏我们二叉搜索树的特性，即旋转过后依旧满足左子树小于根，根小于右子树，那么怎么样进行旋转既能让二叉搜索树保持平衡，又能保持二叉搜索树的特性呢？

4.1右单旋

当新节点插入到较高左子树的左侧时（左左），我们需要进行『右单旋』操作。

原理图与实现细节

一般有以下这两种情况以及对应的旋转操作：

（1）失衡节点的左孩子没有右孩子（subL无右孩子）

当subL无右孩子时，parent直接旋转到subL的右分支即可，我们不需要考虑subL的右孩子放到哪。

（2）失衡节点的左孩子有右孩子（subL有右孩子subLR）

当subL有右孩子时，parent如果旋转到subL的右孩子处，需要将subL的右孩子subLR放到旋转过来的parent节点的左分支上即可。

体现到代码中如何判断什么时候进行右旋呢？

观察图像得知，当parent平衡因子为-2 && cur平衡因子为-1时，进行右旋。

观察发现，这样旋转后依然满足二叉搜索树的特性，且旋转后该树平衡了。

那么接下来我们要进行代码实现：

这里有几个需要注意的细节：

细节1：subL是否有右孩子subLR，如果有我们需要更新subLR的双亲节点。

细节2：parent是否是根节点，如果是根节点，我们需要更新根节点的值为subL；如果不是根节点，可能是某个节点的左子树，也可能是某个节点的右子树，我们需要更新subL的双亲节点为旋转之前parent双亲节点的左分支或右分支，所以我们需要提前保存parent的双亲结点ppnode。

细节3：旋转结束后更新parent与subL的平衡因子为0；

代码实现

void RotateR(Node* parent)
{
  Node* subL = parent->_left;
  Node* subLR = subL->_right;
 
  parent->_left = subLR;
  // 细节1
  if (subLR)
    subLR->_parent = parent;
 
  subL->_right = parent;
 
  Node* ppnode = parent->_parent;
  parent->_parent = subL;
 
  // 细节2
  if (parent == _root)
  {
    _root = subL;
    subL->_parent = nullptr;
  }
  else
  {
    if (ppnode->_left == parent)
    {
      ppnode->_left = subL;
    }
    else
    {
      ppnode->_right = subL;
    }
    subL->_parent = ppnode;
  }
 
  // 细节3
  subL->_bf = 0;
  parent->_bf = 0;
}

4.2左单旋

当新节点插入到较高右子树的右侧时（右右），我们需要进行『左单旋』操作。

原理图与实现细节

一般有以下这两种情况以及对应的旋转操作：

（1）失衡节点的右孩子没有左孩子（subR无左孩子）

当subR无左孩子时，parent直接旋转到subR的左分支即可，我们不需要考虑subR的左孩子放到哪。

（2）失衡节点的右孩子有左孩子（subR有左孩子subRL）

当subR有左孩子时，parent如果旋转到subR的左孩子处，需要将subR的左孩子subRL放到旋转过来的parent节点的右分支上即可。

体现到代码中如何判断什么时候进行左旋呢？

观察图像得知，当parent平衡因子为2 && cur平衡因子为1时，进行左旋。

观察发现，这样旋转后依然满足二叉搜索树的特性，且旋转后该树平衡了。

那么接下来我们要进行代码实现：

这里有几个需要注意的细节：

细节1：subR是否有左孩子subRL，如果有我们需要更新subRL的双亲节点。

细节2：parent是否是根节点，如果是根节点，我们需要更新根节点的值为subR；如果不是根节点，可能是某个节点的左子树，也可能是某个节点的右子树，我们需要更新subR的双亲节点为旋转之前parent双亲节点的左分支或右分支，所以我们需要提前保存parent的双亲结点ppnode。

细节3：旋转结束后更新parent与subR的平衡因子为0；

代码实现

void RotateL(Node* parent)
{
  Node* subR = parent->_right;
  Node* subRL = subR->_left;
 
  parent->_right = subRL;
  // 细节1
  if (subRL)
    subRL->_parent = parent;
 
  subR->_left = parent;
  Node* ppnode = parent->_parent;
  parent->_parent = subR;
 
  // 细节2
  if (parent == _root)
  {
    _root = subR;
    subR->_parent = nullptr;
  }
  else
  {
    if (ppnode->_left == parent)
    {
      ppnode->_left = subR;
    }
    else
    {
      ppnode->_right = subR;
    }
    subR->_parent = ppnode;
  }
 
  // 细节3
  parent->_bf = 0;
  subR->_bf = 0;
}

4.3先左旋再右旋

当新节点插入到较高左子树的右侧时（左右），仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡，所以我们需要进行『先左旋再右旋』操作。

原理图与实现细节

体现到代码中如何判断什么时候进行先左旋再右旋呢？

观察图像得知，当parent平衡因子为-2 && cur平衡因子为1时，进行先左旋再右旋。

观察发现，这样旋转后依然满足二叉搜索树的特性，且旋转后该树平衡了。

如果是下面这种树，你会发现会有两种不同的情况，即新插入的节点是subLR的左树还是右树，这个问题决定了最后parent和subL的平衡因子。

如果是右树，如图『节点4』，最后旋转结束，parent的平衡因子为0，subL的平衡因子为-1；

如果是左树，如图『节点2』，最后旋转结束，parent的平衡因子为1，subL的平衡因子为0；

所以根据上面的分析，我们需要知道新插入的节点是subLR的左树还是右树.

这个通过subLR的平衡因子就能判定：

如果为1，证明插入的节点是subLR的右树，即『节点4』，所以最终subL的平衡因子为-1，parent的平衡因子为0；

如果为-1，证明插入的节点是subLR的左树，即『节点2』，所以最终parent的平衡因子为1，subL的平衡因子为0；

如果为0，则为上上面图片的情况，最终parent和subL的平衡因子都为0。

代码实现

void RotateLR(Node* parent)
{
  Node* subL = parent->_left;
  Node* subLR = subL->_right;
 
  int bf = subLR->_bf;
  RotateL(parent->_left);
  RotateR(parent);
 
  if (bf == -1)
  {
    subLR->_bf = 0;
    subL->_bf = 0;
    parent->_bf = 1;
  }
  else if (bf == 1)
  {
    subLR->_bf = 0;
    subL->_bf = -1;
    parent->_bf = 0;
  }
  else if (bf == 0)
  {
    subLR->_bf = 0;
    subL->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
  }
  else
  {
    assert(false);
  }
}

4.4先右旋再左旋

当新节点插入到较高右子树的左侧时（右左），仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡，所以我们需要进行『先右旋再左旋』操作。

原理图与实现细节

体现到代码中如何判断什么时候进行先右旋再左旋呢？

观察图像得知，当parent平衡因子为2 && cur平衡因子为-1时，进行先右旋再左旋。

观察发现，这样旋转后依然满足二叉搜索树的特性，且旋转后该树平衡了。

如果是下面这种树，你会发现会有两种不同的情况，即新插入的节点是subRL的左树还是右树，这个问题决定了最后parent和subR的平衡因子。

如果是左树，如图『节点2』，最后旋转结束，parent的平衡因子为0，subR的平衡因子为1；

如果是右树，如图『节点4』，最后旋转结束，parent的平衡因子为-1，subR的平衡因子为0；

所以根据上面的分析，我们需要知道新插入的节点是subRL的左树还是右树.

这个通过subRL的平衡因子就能判定：

如果为-1，证明插入的节点是subRL的左树，即『节点2』，所以最终subR的平衡因子为1，parent的平衡因子为0；

如果为1，证明插入的节点是subRL的右树，即『节点4』，所以最终parent的平衡因子为-1，subR的平衡因子为0；

如果为0，则为上上面图片的情况，最终parent和subR的平衡因子都为0。

代码实现

void RotateRL(Node* parent)
{
  Node* subR = parent->_right;
  Node* subRL = subR->_left;
 
  int bf = subRL->_bf;
  RotateR(parent->_right);
  RotateL(parent);
 
  if (bf == -1)
  {
    subRL->_bf = 0;
    subR->_bf = 1;
    parent->_bf = 0;
  }
  else if (bf == 1)
  {
    subRL->_bf = 0;
    subR->_bf = 0;
    parent->_bf = -1;
  }
  else if (bf == 0)
  {
    subRL->_bf = 0;
    subR->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
  }
  else
  {
    assert(false);
  }
}
 
4.5插入的完整代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
  if (_root == nullptr)
  {
    _root = new Node(kv);
    return true;
  }
 
  Node* parent = nullptr;
  Node* cur = _root;
  while (cur)
  {
    if (cur->kv.first < kv.first)
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_right;
    }
    else if (cur->kv.first > kv.first)
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_left;
    }
    else
    {
      return false;
    }
  }
 
  cur = new Node(kv);
  if (parent->_kv.first < kv.first)
  {
    parent->_right = cur;
  }
  else
  {
    parent->_left = cur;
  }
  cur->_parent = parent;
 
  while (parent)
  {
    if (cur == parent->left)
    {
      parent->_bf--;
    }
    else
    {
      parent->_bf++;
    }
 
    if (parent->_bf == 0)
    {
      break;
    }
    else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
    {
      cur = cur->_parent;
      parent = parent->_parent;
    }
    else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
    {
      // 旋转处理
      if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
      {
        RotateL(parent);
      }
      else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
      {
        RotateR(parent);
      }
      else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
      {
        RotateLR(parent);
      }
      else
      {
        RotateRL(parent);
      }
      break;
    }
    else
    {
      // 插入之前AVL树就有问题
      assert(false);
    }
  }
 
  return true;
}

5.验证

5.1验证二叉搜索特性

如何验证一个平衡二叉搜索树是否健康呢？

那是否符合二叉搜索很简单，我们只需要中序遍历一遍看看是不是有序的即可。

中序遍历：

//中序遍历
void Inorder()
{
  _Inorder(_root);
}
//中序遍历子函数
void _Inorder(Node* root)
{
  if (root == nullptr)
    return;
  _Inorder(root->_left);
  cout << root->_kv.first << " ";
  _Inorder(root->_right);
}

创建子函数实现中序遍历的原因是：外部调用Inorder无法访问到private的根节点。

5.2验证平衡特性

验证平衡特性，我们可以获取左右子树的高度，然后利用这个高度计算差值，看看是否平衡即可。

首先是获取左右子树的高度：

int _Height(Node* root)
{
  if (root == nullptr)
    return 0;
 
  int leftHeight = _Height(root->_left);
  int rightHeight = _Height(root->_right);
    //返回左右子树高的那一个+1作为当前树的高度
  return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
 
int Height()
{
  return _Height(_root);
}

判断是否平衡：

bool _IsBalance(Node* root)
{
    if (root == nullptr)
    {
        return true;
    }
 
  int leftHeight = Height(root->_left);
  int rightHeight = Height(root->_right);
 
  if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2)
  {
    cout << root->_kv.first << "不平衡" << endl;
    return false;
  }
 
  if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
  {
    cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
    return false;
  }
 
  return _IsBalance(root->_left)
    && _IsBalance(root->_right);
}

观察上述验证平衡特性的代码，其实有很多重复计算，比如每次判断都需要重新计算该节点所有字数的高度，有没有什么办法保存这些高度呢？

其实我们可以采用后序遍历的思想，从最底下开始验证，这样就可以首先获取底层的高度，新增一个高度的参数，验证成功后利用引用将高度返回给上一层（输出型参数）。

bool _IsBalance(Node* root, int& height)
{
  if (root == nullptr)
  {
    height = 0;
    return true;
  }
 
  int leftHeight = 0, rightHeight = 0;
    //后序的思想
    //有一棵子树不平衡就返回false
  if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight)
    || !_IsBalance(root->_right, rightHeight))
  {
    return false;
  }
 
  if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2)
  {
    cout << root->_kv.first << "不平衡" << endl;
    return false;
  }
 
  if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
  {
    cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
    return false;
  }
 
  height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
 
  return true;
}
 
bool IsBalance()
{
  int height = 0;
  return _IsBalance(_root, height);
}

————————————————

数据·结构

热门文章

最新文章

相关电子书

热门

活动广场

任务中心

开发者评测

高校计划

乘风者计划

训练营

阿里云MVP

话题

直播

下载

镜像站

技术资料

插件

数据·结构

热门文章

最新文章

相关电子书