数据结构-二叉树·堆（顺序结构的实现）-阿里云开发者社区

一.树的概念及结构

1.1树的概念

图一图二

树是一种非线性的数据结构，它是由k个节点（k>=0）组成的具有层次关系的一个集合，如图一所示，把上图倒过来，如图二所示，看起来像一棵树，所以被叫作树；

类似于树的特点，把最上面的那个结点（A）叫作根结点；

除了根结点，其余的结点又可以分为若干个类似于树的子树，如下图：

所以树是递归定义的；

1.2树的表示

最常见的是孩子兄弟表示法

双亲表示法（一般使用结构体数组）：只存储双亲的下标或指针；

例如：

上面这个树用双亲表示法表示：

蓝色：存储的该结点的父结点的下标或指针；

没有父亲就存储-1（-1不是个有效的下标）；

二.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

二叉树：

1.不存在度大于2的结点的树；最多两个，可以是1个或则0个；

度为0（空树）；

2.二叉树的子树有左右子树之分，次序不能颠倒，所以二叉树是有序的；

2.2两个特殊的二叉树

满二叉树：

一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，这个数就是满二叉树；

假设一个满二叉树有h层，则该二叉树的总的结点为2^h-1;

完全二叉树：

是一个深度为k的有n个节点的二叉树，对树中的节点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i1≤i≤n的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同；

三.二叉树顺序结构及实现

3.1二叉树顺序结构

根据完全二叉树的特点，可以得出这样的结论：

如果完全二叉树用数组存储，那么可以得到任意一个父结点，可以通过下标找到孩子，通过孩子下标也可以找到父结点的下标；

规律如下：

liftchild = perent*2+1；

rightchild = parent*2+2；

parent = (child-1)/2;

堆在存储的分类：大根堆，小根堆

3.2二叉树（堆）顺序结构的实现

这里重点分析向上/向下调整的函数

向上调整：

思想：将插入的数据尾插到数组里面，根据父结点与孩子结点下标的关系向上比较做调整，如果父亲结点的数据大于（小于）孩子结点，就交换：如图:

实现代码：

//交换函数
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{
  HPDataType tmp = *x;
  *x = *y;
  *y = tmp;
}
//向上调整
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{
  assert(a);
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child>0)
  {
    if (a[parent] > a[child])
    {
      Swap(&a[parent], &a[child]);
      child = parent;
      parent = (parent - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}

向下调整：

思想：如果我们要删除堆顶（根）的结点，如果直接删除，然后向前覆盖，堆的顺序就会改变，不再是大堆（小堆），如图，这里就需要用到向下调整，先将最后一个数据与第一个数据交换，再将最后一个数据删除，这样保证了除了根，下面的结点都是大堆（小堆）；

然后再用根和两个孩子中较小的一个交换，一次向下重复以上动作，图解如下：

实现代码：

//向下调整
void Adjustdown(HPDataType* a, int parent,int n)
{
  assert(a);
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child<n)
  {
    //假设左孩子小
    if (child+1<n && a[child] > a[child + 1])   //假设错误，修正
    {
      child = child + 1;
    }
    if (a[child] < a[parent])
    {
      Swap(&a[parent], &a[child]);
      parent = child;
      child = child * 2 + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}

完整代码：Heap.h Heap.c

Heap.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>
#include<string.h>
#define HPDataType int
typedef struct Heap
{
  //存储数据的数组
  HPDataType* a;
  int size;
  int capacity;
}Heap;
//初始化函数，两种
//先不开空间，使用的时候再开
void HeapInit(Heap* php);
//已经有一个数组的数据，先开空间，把一个数组的数据放到堆数组里面
void HeapInitArray(Heap* php,int* a,int n);
//摧毁函数，防止内存泄露
void HeapDestory(Heap* php);
//打印函数
void HeapPrintf(Heap* php);
//向上调整函数
void Adjustup(HPDataType* a, int child);
//向下调整函数
void Adjustdown(HPDataType* a, int child,int n);
//向堆里面插入数据的函数
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x);
//把堆里面的根结点Pop出去的函数
void HeapPop(Heap* php);
//取出根结点数据的函数
HPDataType HeapTop(Heap* php);
//判断堆是否为空的函数
bool HeapEmpty(Heap* php);

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"
void HeapInit(Heap* php)
{
  assert(php);
  php->a = NULL;
  php->capacity = 0;
  php->size = 0;
}
void HeapInitArray(Heap* php,int* a,int n)
{
  assert(a);
  assert(php);
  php->a = (HPDataType*)malloc( n * sizeof(int));
  if (php->a == NULL)
  {
    perror("malloc fail");
    exit(-1);
  }
  memcpy(php->a, a, n * sizeof(int));
  //向上调整建堆
  for (int i = 1; i < n; i++)
  {
    Adjustup(php->a, i);
  }
  php->size = n;
  php->capacity = n;
}
void HeapDestory(Heap* php)
{
  assert(php);
  php->a = NULL;
  php->capacity = php->size = 0;
}
void HeapPrintf(Heap* php)
{
  assert(php);
  for (int i = 0; i < php->size; i++)
  {
    printf("%d ",php->a[i]);
  }
  printf("\n");
}
//交换函数
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{
  HPDataType tmp = *x;
  *x = *y;
  *y = tmp;
}
//向上调整函数
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{
  assert(a);
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child>0)
  {
    if (a[parent] > a[child])
    {
      Swap(&a[parent], &a[child]);
      child = parent;
      parent = (parent - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
//向下调整函数
void Adjustdown(HPDataType* a, int parent,int n)
{
  assert(a);
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child<n)
  {
    //假设左孩子小
    if (child+1<n && a[child] > a[child + 1])
    {
      child = child + 1;
    }
    if (a[child] < a[parent])
    {
      Swap(&a[parent], &a[child]);
      parent = child;
      child = child * 2 + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
//插入函数
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
  assert(php);
  if (php->capacity == php->size)
  {
    int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
    HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
    if (tmp == NULL)
    {
      perror("realloc fail");
      exit(-1);
    }
    php->a=tmp;
    php->capacity = newcapacity;
  }
  php->a[php->size] = x;
  php->size++;
  Adjustup(php->a,php->size-1);
}
//删除堆顶结点
void HeapPop(Heap* php)
{
  assert(php);
  Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
  php->size--;
  Adjustdown(php->a, 0,php->size);
}
//取出堆顶数据的函数
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
  assert(php);
  return php->a[0];
}
//判空函数
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
  assert(php);
  return php->size;
}

数据结构-二叉树·堆（顺序结构的实现）