2、阻滞增长人口模型（Logistic模型）
由图4的结论知道，增长率会随着人口增长而下降，其真实的原因是自然资源、环境条件等人类赖以生存的条件阻滞着人口增长，随着人口增加，阻滞作用越大。
【模型假设】
- 人口数随时间连续变化
- 一定环境下人口总数有个上限，即最大人口数xm
- 单位时间内人口的增长量等于当前人口量×当前人口增长率
- 某时刻的人口增长率是该时刻人口数量的线性减函数
- 人口达到最大负荷时，增长率为0
【符号设置】
【模型建立】
1、构造模型
增长率随人口增加而减少，不妨设为r(x),是x的减函数，最简单直接的表达式就是线性函数
【6】
其中r称为固有增长率，当x=0时的最大增长率，s是阻滞系数，不妨设x=xm时，即人口达到最大负荷时，增长率为0，即
【7】
将【7】代入【6】，则有
【8】
根据假设【3】，有
【9】
在【9】中，dx/dt表示人口的实际增长速度为两部分，rx随人口增加而增加，(1-x/xm)随人口增加而减少，即人口增长是两个因子共同作用的结果。【9】所反映的增长模型称为阻滞增长模型，也称Logistic模型。
凡是资源有限的生物总群模型，大多可以用这个模型去描述总群数量的变化规律；很多产品的生产模型、营销模型也满足这个规律。
2、关于Logistic模型的特别分析
2.1 人口速度增长最快点
既然人口增长速度（变量）随人口数量（变量）增加而减少，由
两边对x求导，得
由此可见，
在x<xm/2时单调递增；在x>xm/2时单调递减，x=xm/2时，人口变化速度达到最大。如图5所示。
图5 Logistic模型 dx/dt-x曲线
2.2 Logistic模型曲线
由
知道，人口数量x(t)是时间t的单调递增函数，又由于
所以有
不妨设x(t0)=xm/2，则t<t0时x(t)是凹函数；t>t0时x(t)是凸函数。如图6所示。
图6 Logistic模型x-t曲线（又称s型曲线）
【模型求解】
【9】
【9】是变量分离的微分方程，求解得到特解为
【10】
由【10】的表达式可以得到如下结论：
（1）
（2）
将x0的三种情况所得的曲线绘制在同一坐标系下，结果如图7所示
图7 人口曲线随初值x0不同而不同的示意图
【参数估计】
【10】
表1的原始数据中t较大，又是指数函数的自变量，容易造成极端计算，故作变换后变成如下模型
【11】
利用表1的前21个数据，在matlab里调用最小二乘曲线拟合，得到xm=397.2117;x0=7.1100;r=0.2255
预测2000年美国人口值为
=268.08（百万）
预测相对误差达到4.63%。
图8 前21数据的Logistic模型 的x-t拟合 图9 去掉前9个数据的Logistic模型的x-t拟合
= 277.9145(按图9的预测）
预测相对误差1.23%，优于图8的预测。从图9可以看出，前期误差较大。这也说明，生物种群当前数据受到近期历史影响大，远期影响小。
