Lingo优化软件初步

一、Lingo软件介绍

1、lingo软件的简单介绍

美国芝加哥大学的Linus Schrage教授于1980年左右开发的专门用于求解最优化问题的软件包，后经多年完善与扩充，并成立了LINDO系统公司进行商业运作取得巨大成功。根据 LINDO公司主页（http://www.lindo.com)提供的信息，位列《财富》杂志500强的企业中，有一半以上使用Lingo优化软件，前25强有23企业使用Lingo优化软件。用户可以在主页自由下载各类子包的演示版和应用例子。演示版和正式版功能类似，只是求解问题规模受到限制。各类版本的限制如下表

LINGO是英文Linear Interactive and General Optimizer首写字母的缩写，即“交互式线性和通用优化求解器”。

Lindo/Lingo软件内部有以下4个求解程序用于求解不同类型的优化模型

• 直接求解器(Direct Solver)
• 线性优化求解程序（Linear Solver)
• 非线性优化求解程序（Nonlinear Solver)
• 分支定界管理程序（Branch and Bound Manager)

 对于已经输入的一个优化模型，一旦发出求解指令，第一步是对等式约束的直接处理，例如，如果约束中有三个等式约束

xyz=30,
x+y=8,
y=5

 则Lingo软件能直接确定y=5,x=3,z=2，这三个变量就变成常数了。这样就尽量减少模型的规模(变量数和约束数）,从而使得求解更加有效快捷。第二步就是识别模型的类型，根据类型调用不同的处理器来求解。

而处理器识别模型会在计算界面给出说明：

• LP：线性规划模型
• QP：二次规划模型
• NLP：非线性规划
• ILP：整数线性规划
• INLP：整数非线性规划
• IQP：整数二次规划

2、使用lingo求解优化模型应该注意的几个问题

1. 尽量使用实数优化模型，尽量减少整数约束和整数变量的个数；
2. 尽量使用光滑优化模型，尽量避免使用非光滑函数；（尽量少用绝对值函数(|x|)、符号函数（当x<0,函数为-1，x=0时，函数为0，当x>0时，函数为1）、多个变量求最大（或最小）、四舍五入函数、取整函数等。）
3. 尽量使用线性优化模型，尽量减少非线性约束和非线性变量（非线性约束中的变量）的个数；
4. 合理设定变量的上下界，避免计算陷入“大海捞针”。
5. 模型中使用的单位的数量级要适当（ Lingo计算时，最大数尽量不要超过最小数的1000倍，如果出现100000000与0.1的计算，误差很大！小数湮没于大数！）

举个例子，如果进行100000000（一亿）与0.1的计算，由于这两个数字之间相差很大，计算结果有可能出现较大的误差。这是因为计算机在表示数字时使用的是有限的二进制表示，如果一个数字过大，它的小数部分可能会被舍入或截断，导致计算结果不准确。在这种情况下，0.1这个较小的数可能会被表示成一个近似值，而且由于与较大数进行计算，计算结果可能会受到舍入误差的影响，进一步增大误差。

二、 编写简单的优化程序

1、编写一个简单的LINGO程序

在lingo的编辑窗口输入如下规划（二次规划）

x1+x2<100;
x1<2*x2;
max=98*x1+277*x2-x1^2-0.3*x1*x2-2*x2^2;
@gin(x1);@gin(x2);！x1,x2取整;

注意：输入程序时，输入法状态是英文!!

这段文字描述了一个优化问题的求解结果。下面对其中的各个内容进行解释：

- Global optimal solution found: 求解器找到了全局最优解，即在给定的约束条件下，找到了使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。

- Objective value: 目标函数的值，即在最优解下，目标函数所取得的数值。在这个问题中，目标函数的值为11076.80。

- Objective bound: 目标函数的边界值，即目标函数的最优解的理论上限（或下限）。与目标函数值相同，也为11076.80，表示找到的最优解是达到了目标函数的最优值。

- Infeasibilities: 不可行性的量度，即指约束条件是否满足。在这个结果中，所有约束条件均满足，不可行性为0.000000，表示所有约束都被满足。

- Extended solver steps: 求解器执行的扩展步骤数，表示在求解过程中，求解器进行了8次扩展步骤。

- Total solver iterations: 总的求解器迭代次数，表示在求解过程中，求解器进行了658次迭代。

- Variables: 相关变量的信息，包括变量名称、变量取值以及变量的减少成本（Reduced Cost）。在这个结果中，有两个变量X1和X2，它们的取值分别为36.00000和64.00000，并且对应的减少成本为-6.800002和-10.20000。

- Rows: 相关约束行的信息，包括行名称、松弛量或盈余量（Slack or Surplus）以及对应的对偶价格（Dual Price）。在这个结果中，有三个约束行，分别是行1、行2、行3。行1和行3的松弛量均为0.000000，表示约束条件被精确地满足。行2的松弛量为92.00000，表示约束条件有一定的余量。行3的对偶价格为1.000000，表示在最优解下，对应的约束条件对目标函数值的影响程度。

这些结果提供了关于优化问题求解的详细信息，包括最优解、约束条件情况以及相关变量和约束行的数值和性质。

2、lingo程序输入时的规范格式

1. Lingo总是根据“max=”或“min=”语句寻找目标函数，其它语句都是约束条件（注释句除外），即输入时不需要按顺序输入；
2. Lingo中不区分大小写字母，Lingo中的变量名可以超过8个字符，但不能超过32个字符，且必须以字母开头，其中不能含有中文；
3. Lingo中已假设所有变量都是非负的，所以当x>=0时，不必在输入计算机中，相反，如果有变量x可以取负数，则应规范@free(x)；（例如：y=sinx-1，数学上y取值于【-2,0】，如果是写在lingo程序中，就导致y==0!）
4. Lingo中的>=,<=可以用>,<替换，即不区分大于等于和大于，小于等于和小于；
5. 输入的多余的空格和回车都会被忽略，一个约束可以分两行或者多行书写；
6. Lingo模型是由一系列语句构成，即语句是组成Lingo模型的基本单位，每个语句都是以分号“;”结尾，但尽量一个语句用一行来书写；
7. 以感叹号“！”开始的语句是说明语句（注释语句，以便读者更好理解程序），但计算机在读取模型时，会忽略这样的语句。
8. 在Lingo中，以“@”开头的都是调用函数（数据库），这在后面专门叙述。

3、程序计算（模型计算）的运行

4、Lingo程序常见错误

1. 表示倍数的乘号“*”漏掉；
2. 语句结束后漏掉分号“；”
3. 变量名没有定义（数组sets中没有出现）；
4. 函数标示“@”漏掉；
5. 括号不配对；
6. sets,data后的冒号“：”漏掉，或       endsets,enddata(不是enddate!)多后加分号。
7. 中文输入法忘记关闭！！

5、求解器状态的解读

启动lingo计算摁扭后，会弹出如下界面：

6、lingo求解状态窗口的注释

三、Lingo运算符与函数

1、算术运算符

+         -          *          /        ^

加      减       乘       除        幂

算术运算符是数与数之间的运算，结果也是数。

2、逻辑运算符

2.1 逻辑值之间的运算符

#and#        #or#        #not#  

与                或            非

2.2  逻辑表达式的比较符(不区分大小写)

#eq#     #ne#     #gt#      #ge#         #lt#        #le#

等于   不等于    大于     大于等于   小于      小于等于

这6个操作符实际还是“数与数之间的”比较，而逻辑表达式计算的结果是逻辑值。

例如 表述为计算机能接受的逻辑表达：   i#gt#3#and#i#le#7

参与运算的是逻辑值，结果也是逻辑值，逻辑值只有“真”（True=1)和“假”（False=0)两个值。

3、关系运算符

< (<=)                              >(>=)                       =

小于（小于等于）   大于（大于等于）        等于

这三个符号表示数与数之间的大小关系

4、lingo基本函数

4.1  基本函数

@abs(x)：   绝对值函数，返回x的绝对值；
@cos(x)：   x的余弦值，x是弧度值；  @acos(x)
@sin(x)：   x的正弦值，x是弧度值；  @asin(x)
@tan(x)：   x的正切值，x是弧度值；  @atan(x)
@exp(x)：   e^x；  
@log(x)：   ln(x);
@lgm(x)： 返回x的伽玛函数的自然对数，
      x为整数时，@lgm(x)=ln[(x-1)!]，
      x不是整数采用线性插值，即：  @lgm(4.3)≈0.7@lgm(4)+0.3@lgm(3)（是近似）
@mod(x,y)：   模函数，即x除以y的余数，x,y是整数；
@pow(x,y)：   x^y；
@sign(x)：     返回x的符号值,
  x>0,sign(x)=1；x<0,sign(x)=-1；x=0,sign(x)=0;
@floor(x)：     取整（返回x的整数部分）；
@sqr(x)：        x*x；
@sqrt(x)：       x的平方根；
@smin(list)：  返回数列list的最小值；
@smax(list)： 返回数列list的最大值；
@prod(list)：   返回连乘的积；

4.2  变量定界函数

• @bnd(L,x,U)： 限制L<x<U;L,U与x同维度；
• @bin(x)：     限制x为0或1；
• @gin(x)：     限制x只能取整数；
• @free(x)：    解除对x的符号限制，可以取负数,0,正数.