树和二叉树
文章目录
一、树型结构
1.1概念
树是一种非线性数据结构，是由n(n>=0)个有限节点组成的一个有层次关系的集合。把它叫做树是因为其形状长得像一棵倒挂的树，根在上，叶子在下。有以下特点:
- 有一个特殊的节点，称为根节点，根没有前驱节点
- 树是递归定义的
- 注意:在树形结构中，子树之间是不能有交集的，否则不能构成树形结构.
1.2树相关概念
- 结点的度：一个结点含有子树的个数(简单可以理解为，每个结点向下的分支数);
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值;
- 叶子结点(终端结点)：度为0的结点；
- 双亲结点(父节点)：若一个结点含有子结点，则成这个结点为子结点的父结点；
- 孩子结点(子结点)：一个结点含有子树的根结点称为该结点的子节点(与双亲结点概念相似)；
- 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；
- 结点的层次：从根节点开始定义，根为第一层，根的子结点为第二层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次；
二、二叉树
2.1概念
一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合:
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加两棵称为左子树和右子树的二叉树组成。
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树左右次序不能调换，二叉树是有序树
- 二叉树可以只由左子树、右子树、根结点或者空树构成
2.2两种特殊的二叉树
- 满二叉树：一棵二叉树，如果每层的结点数达到最大值，则这棵二叉树称为满二叉树。一棵满二叉树的层数为k，总结点的个数为
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树引出来的。
2.3二叉树的性质
若根结点所在的层数为1，则一棵二叉树第i层上最多有
个结点
若只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为k的二叉树最大结点数位
任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为
， 度为2的非叶结点个数为
，则有
具有n个结点的完全二叉树的深度k为
上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i
的结点有：
若i>0，双亲序号：( i − 1 ) / 2 (i-1)/2(i−1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
2.4二叉树的实现
二叉树的存储分为顺序存储和类链表的链式存储
这里我们通过链式存储实现
// 定义一个表示节点的类 class TreeNode { int value; // 当前节点的值 TreeNode left; // 左子树的引用 TreeNode right; // 右子树的引用 // 构造方法 public TreeNode(int value) { this.value = value; } } // 根节点的引用 public TreeNode root;
2.5二叉树的操作
1.二叉树的创建
这里我们手动创建一个二叉树
public void create() { // 先所有的节点创建出来 TreeNode node1 = new TreeNode(1); TreeNode node2 = new TreeNode(2); TreeNode node3 = new TreeNode(3); TreeNode node4 = new TreeNode(4); TreeNode node5 = new TreeNode(5); TreeNode node6 = new TreeNode(6); TreeNode node7 = new TreeNode(7); TreeNode node8 = new TreeNode(8); // 处理引用关系 node1.left = node2; node1.right = node3; node2.left = node4; node2.right = node5; node5.right = node8; node3.left = node6; node3.right = node7; // 指定根节点的引用 root = node1; }
2.二叉树的遍历
1.前中后序遍历
二叉树的遍历是指沿着某条搜索路线，对树中每个结点均做一次且只访问一次。
二叉树的遍历是最重要的基础操作之一，是二叉树的其他运算的基础
区别：
- 前序遍历：访问根结点–>根的左子树–>根的右子树(根–>左–>右)
- 中序遍历：左–>根–>右
- 后序遍历：左–>右–>根
根据二叉树的遍历还原二叉树
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
还原思路
注意：当给出二叉树的前序和后序遍历时将无法还原二叉树
// 前序遍历 public void preOrder(TreeNode root) { if (root == null) { return; } System.out.print(root.value + " "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } // 中序遍历 public void inOrder(TreeNode root) { if (root == null) { return; } inOrder(root.left); System.out.print(root.value + " "); inOrder(root.right); } // 后序遍历 public void postOrder(TreeNode root) { if (root == null) { return; } inOrder(root.left); inOrder(root.right); System.out.print(root.value + " "); }
遍历的过程:
2.层序遍历
层序遍历：简单来说就是从根结点所在的层数开始，从上到下，从左到右依次访问每个结
实现代码
//层序遍历 public void levelOrder(TreeNode root) { if (root == null) { return; } //用队列辅助存放节点 Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); //存放头节点 queue.offer(root); while (!queue.isEmpty()) { //出队一个元素 TreeNode node = queue.poll(); System.out.print(node.value + " "); if (node.left != null) { queue.offer(node.left); } if (node.right != null) { queue.offer(node.right); } } System.out.println(); }
3.二叉树的基本操作
1.获取树中结点的个数
/** * 获取树中节点的个数 - 子问题思路 * * @param root * @return */ public int size(TreeNode root) { //判断是否为空 if (root == null) { return 0; } return size(root.left) + size(root.right) + 1; } public int nodeSize; /** * 获取树中节点的个数 - 遍历思路 * * @param root * @return */ static int count = 0; public int size1(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } count++; size1(root.left); size1(root.right); return count; }
2.获取叶子结点个数
/** * 获取叶子节点的个数 - 子问题 * * @param root * @return */ public int getLeafNodeCount(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } else if (root.left == null && root.right == null) { return 1; } return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right); } public int leafCount; /** * 获取叶子节点的个数 - 遍历 * * @param root * @return */ public int getLeafNodeCount1(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } else if (root.left == null && root.right == null) { return leafCount++; } getLeafNodeCount1(root.left); getLeafNodeCount1(root.right); return leafCount; }
3.获取第k层结点的个数
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) { if (root == null || k <= 0) { return 0; } if (k == 1) { return 1; } return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1); }
4.获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } int leftHeight = getHeight(root.left); int rightHeight = getHeight(root.right); return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1; }
5.检测值为value的元素是否存在
public TreeNode find(TreeNode root, int val) { if (root == null) { return null; } if (root.value == val) { return root; } TreeNode left = find(root.left, val); TreeNode right = find(root.right, val); if (left != null) { return left; } if (right != null) { return right; } return null; }
6.判断一棵树是不是完全二叉树
public boolean isCompleteTree(TreeNode root) { if (root == null) { return true; } //用队列辅助存放节点 Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); //存放头节点 queue.offer(root); while (!queue.isEmpty()) { //出队一个元素 TreeNode node = queue.poll(); if (node != null) { //节点不为空，所有元素都入队 queue.offer(node.left); queue.offer(node.right); } else { //节点为空全部出队，遇到非空元素，返回false while (!queue.isEmpty()) { TreeNode checkNode = queue.poll(); if (checkNode != null) { return false; } } } } return true; }
