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🌟浮点型在内存中的存储

常见的浮点数：

3.14159

1E10 = 1 × \times× 1010（即10000000000.000000）

浮点数家族包括： float、double、long double 类型。

浮点数表示的范围：float.h中定义

🌟浮点数的存储规则

在C语言中，浮点型数据（如float和double）在内存中的存储方式通常遵循国际标准IEEE（电气和电子工程协会） 754，这是一种用于表示浮点数的二进制标准。这个标准定义了两种常见的浮点数表示

形式：单精度（float）和双精（double）。任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

• ^{(-1)^S ×× M × 2^E}
• ^{(-1)S表示符号位，当S=0，V为正数；当S=1，V为负数。}
• M表示有效数字，大于等于1，小于2。
• 2^E表示指数位。

🌟C语言中如何存储浮点数？

📌IEEE 754浮点数表示

IEEE 754标准将浮点数分为三个部分：符号位、指数部分和有效数字部分。每个部分在内存中占据不同数量的位，具体取决于是单精度还是双精度浮点数。

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。

前面说过， 1≤M<2 ，也就是说，M可以写成 1.xxxxxx 的形式，其中xxxxxx表示小数部分。

IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。

比如:保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。

以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

至于指数E，情况就比较复杂。 指数E的存储方式

首先，E为一个无符号整数（unsigned int）

这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0 ~ 255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

比如：2¹⁰ 的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存10+127=137，

即 10001001。

📌单精度浮点数（float）

对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M

在单精度浮点数中，内存结构如下：

  [S]      [E]       [M]
[符号位] [指数位] [有效数字位]
   1       8         23

• 符号位 S（1 bit）：表示正负号。
  
• 指数位 E（8 bit）：表示指数部分 （点击跳转到 - 指数E的存储方式）
  
• 有效数字位 M（23 bit）：表示小数部分，使用二进制分数表示。
  

图示：

比如：

0.5（1/2）的二进制形式为0.1，由于规定正数部分必须为1，即将小数点右移1位，则为1.0 × \times× 2-1，其阶码为-1+127=126，表示为01111110，而尾数1.0去掉整数部分为0，补齐0到23位00000000000000000000000，则其二进制表示形式为:

0 01111110 00000000000000000000000

📌双精度浮点数（double）

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

双精度浮点数的内存结构如下：

  [S]      [E]       [M]
[符号位] [指数位] [有效数字位]
   1       11        52

• 符号位 S（1 bit）：表示正负号。
• 指数位 E（11 bit）：表示指数部分 （点击跳转到 - 指数E的存储方式）
• 有效数字位 M（52 bit）：表示小数部分。

图示：

这种内存表示方式使得浮点数可以在计算机上进行精确表示和计算，但也引入了浮点数计算中的一些挑战和限制。

🌟C语言中如何读取浮点数？

指数E从内存中取出可以分成三种情况：

1. E不全为0或不全为1

• 
S:直接取出，0表示正数，1表示负数
• E:指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值
• M:将有效数字M前加上第一位的1。

2. E全为0

• S:直接取出，0表示正数，1表示负数
• E:浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023）即为真实值M:有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

例如（以单精度为例）：E的计算值全为0,所以E的真实为1-127 = -126 ,则浮点型数据为± 1.xxx × 2^（-127）这个数据是接近于0的非常小的数字。

3. E全为1

• S:直接取出，0表示正数，1表示负数
• E:指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值
• M:将有效数字M前加上第一位的1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）

例如（以单精度为例）：E的计算值全为1的话就是255,但是这是加了127之后,真实的E是255-127=128

即：1.xxx× 2^128 这是一个非常大的数字。

🌟练习题

📌1.练习1

📌2.练习2

下面程序输出结果是什么？

int main()
{
 int n = 9;
 float *pFloat = (float *)&n;
 printf("n的值为：%d\n",n);
 printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat);
 *pFloat = 9.0;
 printf("num的值为：%d\n",n);
 printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat);
 return 0;
}

结果：

分析：

int main()
{
  int n = 9;
  //将 0x00000009 拆分，得到第一位符号位s=0，后面8位的指数 E=00000000 ，
    //最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。
  //9 --> 0 00000000 00000000000000000001001 正数原码=反码=补码
  //      S    E              M
  //E全为0，所以真实值为1-127 = -126 
  //上一节第二种情况：M = 0.00000000000000000001001
  //S = 0
  //由于指数E全为0,所以符合上一节的第二种情况。因此，浮点数V就写成：
  //V = (-1)^0 * 0.00000000000000000001001 * 2^(-126) = 1.001 * 2^(-146)
  //显然，V是一个很小的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。
  float* pFloat = (float*)&n;//n --> int*
  printf("n的值为：%d\n", n);//9
  printf("*pFloat的值为：%f\n", *pFloat);// 0.000000....(非常小的数)
  *pFloat = 9.0;
  //首先，浮点数9.0等于二进制的1001.0，即1.001×2^3。
  //(-1)^0 * 1.001 * 2^3
  //S = 0
  //E = 3+127 = 130
  //M = 00100000000000000000000 有效数字M等于001后面再加20个0，凑满23位
  //0 10000010 00100000000000000000000
  //S    E              M
  //这个32位的二进制数，还原成十进制，正是 1,091,567,616 。
  printf("num的值为：%d\n", n);//--> 1,091,567,616
  printf("*pFloat的值为：%f\n", *pFloat);//9.0
  return 0;
}

🌟总结

浮点数在计算机内部的存储方式由IEEE 754标准定义，它将浮点数分为单精度和双精度，每种表示都有符号位、指数部分和有效数字部分。了解浮点数的内存表示有助于我们更好地理解浮点数的行为，预测计算结果，并在编程中避免潜在的精度问题。在进行涉及浮点数的计算时，始终要考虑到浮点数表示可能引起的舍入误差，以获得正确的结果。

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