01背包问题!只有小白才懂小白

01背包问题，是指每个物品只能用一次，求背包中的最大价值

我们该如何思考这些问题呢？

首先，我们能直接依次取最大价值的物品放进去吗？这是一种贪心的思想，肯定是行不通的。我们应该把每个物品逐个加进来.讨论里面的规律是什么。

假设背包的容量是c，第i个物品的价值是w[i]，它的体积是v[i]对于第i个物品，如果v[i]>c，第i个物品是放不进去的，所以它的最大价值是i-1件物品讨论时的最大价值；如果v[i] <= c，第i个物品能放进去，但是我们要不要把它装进我们的背包呢？如果装进背包，最大价值就是w[i] + (i-1件物品，背包容量为c - v[i]情况下的最大值) , 如果不装进去，最大价值就是i-1件物品讨论时的最大价值。

现在，我们用数组把上述文字表示一下
f[i][j] 表示的是第i件物品 , 容量为j时的最大价值
 Ⅰ.w [i] > c时 ,f[i][j] = f[i-1][j];
 Ⅱ.w[i] < c时
  ①放第i个物品 f [i][j] = w[i] + f [i-1][j-v[i]]
  ②不放第i个物品 f[i][j] = f[i-1][j]; 
 所以状态方程为f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]])

//二维模板
for(int i = 1 ;i <= n ;i ++){
  for(int j = 0 ;j <= m ;j ++)
  {
    f[i][j] = f[i-1][j];//放不下的情况
    if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
  }
}

根据状态转移方程，我们可以发现在f[i]这一层，只用到了f[i-1]这层，且状态转移方程中的 j, j-v[i]都是小于等于j的，并不是分布在j的两端，根据这两个特性，我们可以将二维优化成为一维。

如果我们直接将i这维删去的话，就会变成

for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
  for(int j = 0 ;j <= m ;j ++)
  {
    f[j] = f[j];
    if(j >= v[i]) f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
  }

f[j] = f[j]; //这个恒成立，直接可以删去

因为if的判断条件是j >= v[i]，所有(0,v[i])范围的数没有意义

for循环中可以直接从j = v[i]开始

所以，我们接着可以修改为

for(int i = 1 ;i <= n ;i ++)
  for(int j = v[i] ;j <= c ;j ++)
  {
    f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
  }

那么f [ j ] = max(f [ j ],f [ j - v [ i ] ] + w [ i ] )就等价于f [ i ] [ j ] = max( f [ i - 1 ] [ j ] , f [ i - 1 ] [ j - v [ i ] ] ) 吗？

j从前往后模拟真的可行吗？

仔细想想，不难发现

假设当我们更新第i层状态的时候，f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i])，当我们需要用到f[j-v[i]]时，因为j - v[i]是小于j的，所以j - v[i]的状态在j之前更新过了

f[j - v[i]]相当于是第i层中j - v[i]的值,即f[i][j - v[i]]，而状态转移方程中我们需要的是第i-1层中f[j - v[i]]，所以我们应该从后往前模拟，j > j - v[i]，所以j就会再j - v[i]之前更新，用到的j - v[i]的值还是第 i - 1层中的值

//一维模板
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = c; j >= v[i]; j--)  
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
} 

讲了这么多，你可能还是有点糊涂，那么我们直接上个例子吧

例题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 < N , V ≤ 1000

0 < vi ,wi ≤ 1000

输入样例

4 5

1 2

2 4

3 4

4 5

输出样例：

8

二维数组

解释一下这个表格怎么来的，横着的12345代表背包容量为j时的情况，竖着的abcd则是i个物品

模拟一下(c,3)点，即f[3][3]，第三个物品背包容量为3时的情况，f[3][3] = max(f[2][3],f[2][0]+4) = max(6,4) = 6

一维数组

当我们计算f[2]时,f[2] = max(f[2],f[2-2] + 4) = 4,相当于取了一次b物品

当我们算f[4]时，又要用到f[2]，f[4] = max(f[4],f[4-2]+4) = max(2,4+4) = 8

我们在算f[2]中取了一次第二件物品，f[4]时又取了一次第二件物品，相当于在算f[4]时取了两次b物品，不符合01背包，所以我们应该从后往前模拟。顺带提一句，多重背包不计较物品取出的次数，这也可以解释多重背包为什么可以从前往后模拟。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    cout << f[m] << endl;
    return 0；

才学dp，也是第一次写复杂点的博客，有问题的话还请大家指出！