Leecode 300. 最长上升子序列

题目描述

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]

输出: 4

解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。

你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

贪心 + 二分查找

思路与算法

考虑一个简单的贪心，如果我们要使上升子序列尽可能的长，则我们需要让序列上升得尽可能慢，因此我们希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。

基于上面的贪心思路，我们维护一个数组 d[i]，表示长度为 i的最长上升子序列的末尾元素的最小值，用 len 记录目前最长上升子序列的长度，起始时 len 为 1，d[1]=nums[0]。

同时我们可以注意到 d[i]是关于 i 单调递增的。因为如果 d[j]≥d[i] 且 j < i，我们考虑从长度为 ii的最长上升子序列的末尾删除 i-j个元素，那么这个序列长度变为 j ，且第 j个元素 x（末尾元素）必然小于 d[i]，也就小于 d[j]。那么我们就找到了一个长度为 j 的最长上升子序列，并且末尾元素比 d[j] 小，从而产生了矛盾。因此数组 d[] 的单调性得证。

我们依次遍历数组 nums[] 中的每个元素，并更新数组 d[] 和 len 的值。如果 nums[i]>d[len] 则更新 len=len+1，否则在 d[1…len]中找满足 d[i−1]<nums[j]<d[i] 的下标 i，并更新 d[i]=nums[j]。

根据 d数组的单调性，我们可以使用二分查找寻找下标 i，优化时间复杂度。

最后整个算法流程为：

设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为 1），从前往后遍历数组nums，在遍历到 nums[i] 时：

如果nums[i]>d[len] ，则直接加入到 d 数组末尾，并更新 len=len+1；

否则，在 dd 数组中二分查找，找到第一个比 nums[i] 小的数 d[k] ，并更新 d[k+1]=nums[i]。

以输入序列 [0, 8, 4, 12, 2][0,8,4,12,2] 为例：

第一步插入 0，d = [0]；

第二步插入 8，d = [0, 8]；

第三步插入 4，d = [0, 4]；

第四步插入 12，d = [0, 4, 12]；

第五步插入 2，d=[0,2,12]。

最终得到最大递增子序列长度为 3。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int len = 1, n = (int)nums.size();
        if (n == 0) return 0;
        vector<int> d(n + 1, 0);
        d[len] = nums[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            if (nums[i] > d[len]) d[++len] = nums[i];
            else{
                int l = 1, r = len, pos = 0; // 如果找不到说明所有的数都比 nums[i] 大，此时要更新 d[1]，所以这里将 pos 设为 0
                //此时使用二分查找的算法
                while (l <= r) {
                    int mid = (l + r) >> 1;
                    if (d[mid] < nums[i]) {
                        pos = mid;
                        l = mid + 1;
                    }
                    else r = mid - 1;
                }
                d[pos + 1] = nums[i];
            }
        }
        return len;
    }
};