正文

平面的点法式方程

法向量：垂直于一个平面的非零向量叫做一个平面的法向量。

假设空间内有一点M0(x0,y0,z0)和一个向量n→=(A,B,C)经过点M0且垂直于向量n→的平面有且只有一个，记为Π，它的法向量即是n→

设在平面ΠΠ上有除了M0外的一点M(x,y,z)则必有 ，即它们的数量积为零

这就是平面Π的点法式方程，平面内任意一点M(x,y,z)的坐标x、y、z均满足此方程。

平面的一般方程

易看出平面的点法式方程是一个三元一次方程，所以它也可以写成三元一次方程的一般形式：

Ax+By+Cz+D=0

其中平面的法向量坐标即为x、y、z的系数

n→=(A,B,C)

对于平面的一般方程，可以从它的方程式中找到方程对应的图像的特点：

D=0是表示平面经过原点。

A=0时表示平面平行于x轴；B=0时表示平面平行于y轴；C=0时表示平面平行于z轴。(简记为：缺哪个未知数则经过哪个轴)

A=0且D=0时表示平面经过x轴；B=0时表示平面经过y轴；C=0时表示平面经过z轴。

A=B=0时则平面同时经过x轴和y轴，即表示平面在xOy面上；

A=C=0时则平面同时经过x轴和z轴，即表示平面在xOz面上；

B=C=0时则平面同时经过y轴和z轴，即表示平面在yOz面上

平面的截距式方程

平面的截距式方程一般用于平面与x、y、z轴各有一个交点时，它的形式为：

截距式方程的推导：

一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)三点

设该平面的方程为：

Ax+By+Cz+D=0

分别将P、Q、RP、Q、R三点代入方程可得，即有：

代入方程即可得截距式方程：

两平面的夹角

两平面的夹角通常指的是两平面的法向量的夹角(锐角或者直角)

设两平面Π1、Π2的法向量分别为n1=(A1,B1,C1)、n2=(A2,B2,C2)则：

从两个法向量垂直、平行的充要条件可以推得：

点到平面的距离

平面外一点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz=0距离公式：