《简明电路分析》——1.5节电路网络的约束关系

本节书摘来自华章社区《简明电路分析》一书中的第1章，第1.5节电路网络的约束关系，作者钟洪声　吴　涛　孙利佳，更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看

1.5　电路网络的约束关系　　
电路中除了元件还包括元件之间的连接关系。一旦元件确定以后，元件上的电压、电流将满足元件的伏安特性，称为元件约束。根据不同的元件连接关系，形成不同的电路网络，这些电路网络中的电压、电流根据连接关系的不同，需遵循一定的关系，称为拓扑约束。电路中的拓扑约束包含电流的约束和电压的约束，即著名的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。
1.5.1　电路网络基本术语
在介绍电路中的拓扑约束与基尔霍夫定律之前，先介绍电路中常用的名词和术语。
1） 端点（terminal）：元件的边界点，元件上的电压指端点之间的电压，元件上的电流指在端点处流入或流出的电流。含两个端点的元件称为二端元件，如前面介绍的独立电压源、独立电流源和电阻等，含三个端点的元件称为三端元件，如电位器等，以此类推，含N个端点的元件称为N端元件。元件与元件之间通过端点进行连接。
2） 节点（node）：两个或两个以上元件的交汇点称为节点（也称为结点），一般两个元件的交汇点在图中不表示出来，此时这两个元件一定是串联关系，如图1-55所示的电路中串联元件1和2之间的A点。注意，如果元件的交汇点之间用理想导线连接，而并不关心导线上的电流时，可以视为一个节点，即图1-55中的B′可以不单独视为一个节点，而是和B共同视为一个节点，此时该电路中节点共有4个，分别标记为A、B（或B′）、C、D。
3） 支路（branch）：任何一个二端元件都可看成一条支路，二端元件的端电压又称为支路电压，端电流称为支路电流。图1-55所示的电路中有6个二端元件，共6条支路。通常为了分析方便，又将串联元件的组合视为1条支路，称为广义支路，如元件1和2，既可视为2条支路，也可视为1条广义支路。广义支路可以认为是跨接2个节点构成的单一路径，广义支路的内部节点（如节点A）一般不会进行分析。
所以，图1-55的电路中，可以视为有1、2、3、4、5、6共6条支路和4个节点，也可以视为有{1，2}、3、4、5、6共5条支路和3个节点。
4） 回路（loop）：从任意点出发，经过一些支路回到出发点的闭合路径称为回路。图1-55的电路中，共有7条回路，分别由以下支路构成：{1，2，3}，{4，5}，{3，5，6}，{1，2，3，4，5}，{1，2，5，6}，{3，4，6}，{1，2，4，6}。注意,回路中的支路只能经过一次，但对于复杂的电路，图1-55　电路网络基本术语数清所有的回路非常困难,也没有必要。
5） 网孔（mesh）：在平面电路中，内部不含支路的回路称为网孔。图1-55的电路中，共有3个网孔，分别由以下支路构成：{1，2，3}，{4，5}，{3，5，6}。在平面电路中，列举出所有的网孔比列举出所有的回路容易得多。需要注意的是，网孔只针对平面电路，即支路无交叉的电路，对于非平面电路而言是没有网孔的。
6） 连通电路：电路中任意两个节点都有支路将其连通，称为连通电路，图1-55的电路就是连通电路。

1.5.2　基尔霍夫电流定律
基尔霍夫电流定律（Kirchhoffs Current Law,KCL）描述了集总假设电路中电流需遵循的约束条件，该约束与元件伏安特性无关，只与元件的连接关系有关，可表述为：对于一个集总电路中的任意节点，在任意时刻流出该节点的电流代数和为0。其数学表达式为Nk=1ik=0（1-27）其中N是与节点相连接的支路总数，ik是与该节点相连接的第k条支路上的电流，公式中规定电流参考方向是流出节点为“+”，流入节点为“-”。
式（1-27）称为KCL方程，是以支路电流为变量的常系数线性齐次代数方程。KCL对与节点相连接的支路上的电流施加了线性约束，并且该约束与元件性质无关。
在图1-56a所示电路中，标注出电流参考方向和电流参数后，节点A、B、C、D处的KCL方程可写为A：　-i1-i2=0
B：　i1+i3+i4-i5=0
C：　i2-i3+i6=0
D：　-i4+i5-i6=0如果将元件1和2的串联视为一条广义支路的话，节点A为该支路的内部节点，并可得到i2=-i1或i1=-i2，此时节点C处的KCL方程可写为C：　-i1-i3+i6=0除了上述数学表述方式以外，KCL还有以下推广形式：
1） 对于一个集总电路中的任意节点，在任意时刻流入该节点的电流代数和为0。例如图1-56a中A节点处的KCL可写为i1+i2=0。
2） 对于一个集总电路中的任意节点，在任意时刻流入该节点的总电流等于流出该节点的总电流。例如图1-56a中B节点处的KCL可写为i1+i3+i4=i5。
3） KCL还可用于集总电路中的任意封闭面，例如图1-56b所示的电路中，任意画出两个封闭面Ⅰ和Ⅱ，根据这两个封闭面可以得到电路中电流的约束关系，Ⅰ：i2-i3+i6=0和Ⅱ：i1+i4+i7=0。封闭面有时也可称为广义节点。
封闭面的选择具有任意性，甚至可以从某个节点中分开，如图1.58b中的封闭面Ⅱ，这样可以方便求出节点B内部的电流i7。

用一根导线连接两个单独电路，如图1-57所示，分析导线上是否有电流流过。作一封闭面包围N1或者N2，如图1-57b所示。流出或流入封闭面的电流只有导线上的电流i，根据KCL，任意时刻都有i=0。所以当只用一条导线连接两个单独电路时，导线中的电流i必为0。导线中要有电流流过，其必要条件是电流要形成回路，如图1-58所示。

解：该题可以利用每个节点上的KCL找到与被求电流有关系的线性方程，或者通过作封闭面直接找到待求电流与已知电流之间的线性关系。
方法一：在节点上进行KCL分析。对于节点④，有-i2-i7+i12=0
i2=-i7+i12=5A对于节点①，有-i1+i2+i4=0
i4=i1-i2=-4A方法二：如图1-60b作封闭面，对于封闭面根据KCL有-i1+i4-i7+i12=0
i4=i1+i7-i12=-4A1.5.3　基尔霍夫电压定律
基尔霍夫电压定律（Kirchhoffs Voltage Law，KVL）描述了集总假设电路中电压需遵循的约束条件，该约束与元件伏安特性无关，只与元件的连接关系有关，可表述为：对于一个集总电路中的任意回路，在任意时刻沿该回路支路电压的代数和为0。其数学表达式为Nk=1uk=0（1-28）其中N是回路上的支路总数，uk是回路上第k条支路上的电压，公式中规定电压参考方向与回路绕行方向一致为“+”，不一致为“-”。
式（1-28）称为KVL方程，是以支路电压为变量的常系数线性齐次代数方程。KVL对回路上的支路电压施加了线性约束，并且该约束与元件性质无关。
图1-61a所示的电路中共有7条回路，可以写出7个KVL方程，对其中4条回路进行KVL分析，回路绕行方向由箭头指示

除了上述数学表述方式以外，KVL还有以下推广形式：
1） 对于一个集总电路中的任意回路，在任意时刻总电压升等于总电压降。图1-61a回路Ⅰ的KVL还可写为u1=u2+u3，其中u1是回路的总电压降，（u2+u3）等于回路中的总电压升。
2） 集总电路中的任意两点间的电压与路径无关。例如节点BC间的电压，根据图1-61b选择的不同路径，可写为uBC=u1-u2、uBC=u3、uBC=u4+u6或uBC=u5+u6。
3） 除了在实际的路径上用KVL来约束电压关系以外，还可以将KVL用于虚拟路径，在图1-61c中，可以假想B到A、A到C之间有一条没有实际元件的虚拟路径，BC间的电压可以写成uBC=uBA+uAC，同理也可写成uBC=uBD+uDC等。
基尔霍夫电压定律的物理实质是电路能量守恒，电路中的电荷从一点移动到另一点所做的功与路径无关，将电荷从一点沿回路路径移动回到原点，所做的总功为0，即基尔霍夫电压定律所描述的电压约束关系。
例1-11　写出图1-62a电路中网孔的KVL方程和uAF的表达式。
图1-62　例1-11图
解：电路共有5个网孔，假设网孔中的回路绕行方向均是顺时针，则网孔上的KVL方程分别为u1+u3-u4-u0=0
-u2-u5-u3=0
u4-u7-u6=0
u8+u7=0
-u9-u8+u5=0整理后得到-u0+u1+u3-u4=0
-u2-u3-u5=0
u4-u6-u7=0
u7+u8=0
u5-u8-u9=0而uAF的表达式与选择的路径无关，比如选择的路径如图1-62b所示，写出的uAF为uAF=u0+u6=uAE-u7=u1-u2-u5+u8当然还可以选择其他的路径来写uAF的表达式。
例1-12　图1-63a所示的电路中，已知U1=3V，U4=1V，求Uab。

解：此题有两种解法。
方法一：如图1-63b所示，分别选择回路Ⅰ、Ⅱ，对回路Ⅰ的KVL有
U1+U3-5=0对回路Ⅱ的KVL有U2+U4-5=0代入已知条件可得U3=2V　和　U2=4V所以Uab=-U2+U1=U4-U3=-1V结果中的负号表明b点实际电位比a点高。
方法二：如图1-63c所示，选择a到b的路径，则Uab=U4-5+U1=1-5+3=-1V对于KCL和KVL总结如下：
1） KCL和KVL的物理实质是集总参数电路的电荷守恒和能量守恒。
2） KCL对电路中任意节点上的各支路电流施加了线性约束，KVL对电路中任意回路上的各支路电压施加了线性约束。
3） KCL和KVL与电路元件性质无关，仅与连接方式即电路拓扑结构有关，所以统称KCL和KVL方程为集总参数电路的拓扑约束。
1.5.4　功率守恒定理
前几节介绍了两类元件：独立源和电阻。其中，独立源主要用于产生并发出能量，而电阻主要用于吸收并消耗能量。不论元件内部的工作原理如何，电路模型只考虑元件的伏安特性，所以电压和电流受元件约束，需满足VCR。用这些元件搭建电路时，仅考虑元件的连接关系，电压和电流受拓扑约束，需满足KVL和KCL。
根据能量守恒和功率的定义可知，电路也应满足功率守恒，这就是著名的特勒根功率定理（Tellegens Theorem）：对于一个包含n个节点、b条支路的集总电路，若第k条支路上的支路电压uk和支路电流ik均为关联参考方向，则任意时刻下有bk=1ukik=0（1-29）特勒根功率定理说明电路的实际功率守恒。除此以外还有特勒根拟功率定理，感兴趣的读者可以自行查询。
例1-13　电路如图1-64所示，已知US1=5V，R1=2Ω，R2=3Ω，求独立电压源US1发出的功率，并验证功率是否守恒。

例1-14图求各元件发出的功率，并验证功率是否守恒。
解：根据KVL可知，电阻R1上的电压为U1=US1-US2=5-3=2V电路中的电流为I=I1=I2=U1R1=22=1A所以电路中各元件发出的功率为PS1发出=US1I=5×1=5W
PR1发出=-U1I1=-2×1=-2W
PS2发出=-US2I2=-3×1=-3W显然PS1发出+PS2发出+PR1发出=0所以功率守恒。其中独立电压源US2发出的功率为负值，表示实际为吸收功率。名人故事　古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1822—1887），德国物理学家，在电学和光谱学领域有重要贡献（两个领域中各有根据其名字命名的基尔霍夫定律）。1847年发表的两个电路定律发展了欧姆定律，对电路理论有重大作用，奠定了电路分析计算的基础。1859年制成分光仪，并与化学家罗伯特·威廉·本生一同创立光谱化学分析法，从而发现了铯和铷两种元素。同年还提出热辐射中的基尔霍夫辐射定律，这是辐射理论的重要基础。1862年创造了“黑体”一词。