《简明电路分析》——1.5节电路网络的约束关系-阿里云开发者社区

开发者社区> 华章出版社> 正文
登录阅读全文

《简明电路分析》——1.5节电路网络的约束关系

简介:

本节书摘来自华章社区《简明电路分析》一书中的第1章,第1.5节电路网络的约束关系,作者钟洪声 吴 涛 孙利佳,更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看

1.5 电路网络的约束关系  
电路中除了元件还包括元件之间的连接关系。一旦元件确定以后,元件上的电压、电流将满足元件的伏安特性,称为元件约束。根据不同的元件连接关系,形成不同的电路网络,这些电路网络中的电压、电流根据连接关系的不同,需遵循一定的关系,称为拓扑约束。电路中的拓扑约束包含电流的约束和电压的约束,即著名的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。
1.5.1 电路网络基本术语
在介绍电路中的拓扑约束与基尔霍夫定律之前,先介绍电路中常用的名词和术语。
1) 端点(terminal):元件的边界点,元件上的电压指端点之间的电压,元件上的电流指在端点处流入或流出的电流。含两个端点的元件称为二端元件,如前面介绍的独立电压源、独立电流源和电阻等,含三个端点的元件称为三端元件,如电位器等,以此类推,含N个端点的元件称为N端元件。元件与元件之间通过端点进行连接。
2) 节点(node):两个或两个以上元件的交汇点称为节点(也称为结点),一般两个元件的交汇点在图中不表示出来,此时这两个元件一定是串联关系,如图1-55所示的电路中串联元件1和2之间的A点。注意,如果元件的交汇点之间用理想导线连接,而并不关心导线上的电流时,可以视为一个节点,即图1-55中的B′可以不单独视为一个节点,而是和B共同视为一个节点,此时该电路中节点共有4个,分别标记为A、B(或B′)、C、D。
3) 支路(branch):任何一个二端元件都可看成一条支路,二端元件的端电压又称为支路电压,端电流称为支路电流。图1-55所示的电路中有6个二端元件,共6条支路。通常为了分析方便,又将串联元件的组合视为1条支路,称为广义支路,如元件1和2,既可视为2条支路,也可视为1条广义支路。广义支路可以认为是跨接2个节点构成的单一路径,广义支路的内部节点(如节点A)一般不会进行分析。
所以,图1-55的电路中,可以视为有1、2、3、4、5、6共6条支路和4个节点,也可以视为有{1,2}、3、4、5、6共5条支路和3个节点。
4) 回路(loop):从任意点出发,经过一些支路回到出发点的闭合路径称为回路。图1-55的电路中,共有7条回路,分别由以下支路构成:{1,2,3},{4,5},{3,5,6},{1,2,3,4,5},{1,2,5,6},{3,4,6},{1,2,4,6}。注意,回路中的支路只能经过一次,但对于复杂的电路,图1-55 电路网络基本术语数清所有的回路非常困难,也没有必要。
5) 网孔(mesh):在平面电路中,内部不含支路的回路称为网孔。图1-55的电路中,共有3个网孔,分别由以下支路构成:{1,2,3},{4,5},{3,5,6}。在平面电路中,列举出所有的网孔比列举出所有的回路容易得多。需要注意的是,网孔只针对平面电路,即支路无交叉的电路,对于非平面电路而言是没有网孔的。
6) 连通电路:电路中任意两个节点都有支路将其连通,称为连通电路,图1-55的电路就是连通电路。


3afd0a4330ca669163d1ea029eba5b0deaeab30a

1.5.2 基尔霍夫电流定律
基尔霍夫电流定律(Kirchhoffs Current Law,KCL)描述了集总假设电路中电流需遵循的约束条件,该约束与元件伏安特性无关,只与元件的连接关系有关,可表述为:对于一个集总电路中的任意节点,在任意时刻流出该节点的电流代数和为0。其数学表达式为Nk=1ik=0(1-27)其中N是与节点相连接的支路总数,ik是与该节点相连接的第k条支路上的电流,公式中规定电流参考方向是流出节点为“+”,流入节点为“-”。
式(1-27)称为KCL方程,是以支路电流为变量的常系数线性齐次代数方程。KCL对与节点相连接的支路上的电流施加了线性约束,并且该约束与元件性质无关。
在图1-56a所示电路中,标注出电流参考方向和电流参数后,节点A、B、C、D处的KCL方程可写为A: -i1-i2=0
B: i1+i3+i4-i5=0
C: i2-i3+i6=0
D: -i4+i5-i6=0如果将元件1和2的串联视为一条广义支路的话,节点A为该支路的内部节点,并可得到i2=-i1或i1=-i2,此时节点C处的KCL方程可写为C: -i1-i3+i6=0除了上述数学表述方式以外,KCL还有以下推广形式:
1) 对于一个集总电路中的任意节点,在任意时刻流入该节点的电流代数和为0。例如图1-56a中A节点处的KCL可写为i1+i2=0。
2) 对于一个集总电路中的任意节点,在任意时刻流入该节点的总电流等于流出该节点的总电流。例如图1-56a中B节点处的KCL可写为i1+i3+i4=i5。
3) KCL还可用于集总电路中的任意封闭面,例如图1-56b所示的电路中,任意画出两个封闭面Ⅰ和Ⅱ,根据这两个封闭面可以得到电路中电流的约束关系,Ⅰ:i2-i3+i6=0和Ⅱ:i1+i4+i7=0。封闭面有时也可称为广义节点。
封闭面的选择具有任意性,甚至可以从某个节点中分开,如图1.58b中的封闭面Ⅱ,这样可以方便求出节点B内部的电流i7。


a0f1c7ba10a680ad829f495e70fc51b3f633cd8d

用一根导线连接两个单独电路,如图1-57所示,分析导线上是否有电流流过。作一封闭面包围N1或者N2,如图1-57b所示。流出或流入封闭面的电流只有导线上的电流i,根据KCL,任意时刻都有i=0。所以当只用一条导线连接两个单独电路时,导线中的电流i必为0。导线中要有电流流过,其必要条件是电流要形成回路,如图1-58所示。


23280c2fbbba5beea9ca33bac68ee78727b64352

解:该题可以利用每个节点上的KCL找到与被求电流有关系的线性方程,或者通过作封闭面直接找到待求电流与已知电流之间的线性关系。
方法一:在节点上进行KCL分析。对于节点④,有-i2-i7+i12=0
i2=-i7+i12=5A对于节点①,有-i1+i2+i4=0
i4=i1-i2=-4A方法二:如图1-60b作封闭面,对于封闭面根据KCL有-i1+i4-i7+i12=0
i4=i1+i7-i12=-4A1.5.3 基尔霍夫电压定律
基尔霍夫电压定律(Kirchhoffs Voltage Law,KVL)描述了集总假设电路中电压需遵循的约束条件,该约束与元件伏安特性无关,只与元件的连接关系有关,可表述为:对于一个集总电路中的任意回路,在任意时刻沿该回路支路电压的代数和为0。其数学表达式为Nk=1uk=0(1-28)其中N是回路上的支路总数,uk是回路上第k条支路上的电压,公式中规定电压参考方向与回路绕行方向一致为“+”,不一致为“-”。
式(1-28)称为KVL方程,是以支路电压为变量的常系数线性齐次代数方程。KVL对回路上的支路电压施加了线性约束,并且该约束与元件性质无关。
图1-61a所示的电路中共有7条回路,可以写出7个KVL方程,对其中4条回路进行KVL分析,回路绕行方向由箭头指示


179fdf1f26a9170a704043bf44a25b7d6ffa3913

除了上述数学表述方式以外,KVL还有以下推广形式:
1) 对于一个集总电路中的任意回路,在任意时刻总电压升等于总电压降。图1-61a回路Ⅰ的KVL还可写为u1=u2+u3,其中u1是回路的总电压降,(u2+u3)等于回路中的总电压升。
2) 集总电路中的任意两点间的电压与路径无关。例如节点BC间的电压,根据图1-61b选择的不同路径,可写为uBC=u1-u2、uBC=u3、uBC=u4+u6或uBC=u5+u6。
3) 除了在实际的路径上用KVL来约束电压关系以外,还可以将KVL用于虚拟路径,在图1-61c中,可以假想B到A、A到C之间有一条没有实际元件的虚拟路径,BC间的电压可以写成uBC=uBA+uAC,同理也可写成uBC=uBD+uDC等。
基尔霍夫电压定律的物理实质是电路能量守恒,电路中的电荷从一点移动到另一点所做的功与路径无关,将电荷从一点沿回路路径移动回到原点,所做的总功为0,即基尔霍夫电压定律所描述的电压约束关系。
例1-11 写出图1-62a电路中网孔的KVL方程和uAF的表达式。
图1-62 例1-11图
解:电路共有5个网孔,假设网孔中的回路绕行方向均是顺时针,则网孔上的KVL方程分别为u1+u3-u4-u0=0
-u2-u5-u3=0
u4-u7-u6=0
u8+u7=0
-u9-u8+u5=0整理后得到-u0+u1+u3-u4=0
-u2-u3-u5=0
u4-u6-u7=0
u7+u8=0
u5-u8-u9=0而uAF的表达式与选择的路径无关,比如选择的路径如图1-62b所示,写出的uAF为uAF=u0+u6=uAE-u7=u1-u2-u5+u8当然还可以选择其他的路径来写uAF的表达式。
例1-12 图1-63a所示的电路中,已知U1=3V,U4=1V,求Uab。


527586706b5af59645c2f8dd7d1136eb5aa262c0

解:此题有两种解法。
方法一:如图1-63b所示,分别选择回路Ⅰ、Ⅱ,对回路Ⅰ的KVL有
U1+U3-5=0对回路Ⅱ的KVL有U2+U4-5=0代入已知条件可得U3=2V 和 U2=4V所以Uab=-U2+U1=U4-U3=-1V结果中的负号表明b点实际电位比a点高。
方法二:如图1-63c所示,选择a到b的路径,则Uab=U4-5+U1=1-5+3=-1V对于KCL和KVL总结如下:
1) KCL和KVL的物理实质是集总参数电路的电荷守恒和能量守恒。
2) KCL对电路中任意节点上的各支路电流施加了线性约束,KVL对电路中任意回路上的各支路电压施加了线性约束。
3) KCL和KVL与电路元件性质无关,仅与连接方式即电路拓扑结构有关,所以统称KCL和KVL方程为集总参数电路的拓扑约束。
1.5.4 功率守恒定理
前几节介绍了两类元件:独立源和电阻。其中,独立源主要用于产生并发出能量,而电阻主要用于吸收并消耗能量。不论元件内部的工作原理如何,电路模型只考虑元件的伏安特性,所以电压和电流受元件约束,需满足VCR。用这些元件搭建电路时,仅考虑元件的连接关系,电压和电流受拓扑约束,需满足KVL和KCL。
根据能量守恒和功率的定义可知,电路也应满足功率守恒,这就是著名的特勒根功率定理(Tellegens Theorem):对于一个包含n个节点、b条支路的集总电路,若第k条支路上的支路电压uk和支路电流ik均为关联参考方向,则任意时刻下有bk=1ukik=0(1-29)特勒根功率定理说明电路的实际功率守恒。除此以外还有特勒根拟功率定理,感兴趣的读者可以自行查询。
例1-13 电路如图1-64所示,已知US1=5V,R1=2Ω,R2=3Ω,求独立电压源US1发出的功率,并验证功率是否守恒。


2d1d2f6f6d545af2ecc110390812a900c1710597


6391953b24fd6105014ef0152b3f69e5aa08a157

解:R1和R2串联,所以根据串联分压关系可知U1=R1R1+R2US1=22+3×5=2V
U2=R2R1+R2US1=32+3×5=3V流经两个电阻的电流I=I1=I2=U1R1=U2R2=1A因为独立电压源US1上的电压US1和I为非关联参考方向,所以发出的功率为P发出=US1I=5×1=5W两个电阻上吸收的功率分别为P1=U1I1=U21R1=R1I21=2W
P2=U2I2=U22R2=R2I22=3W在数值上有P发出=P1+P2所以,电压源US1发出的功率等于所有电阻吸收的功率之和,即电路中的功率守恒。
例1-14 如果将例1-13中的R2换为一个3V的独立电压源US2,如图1-65所示


36b5ed9cdb16bb741aa4b73365f05c4ff8508126

例1-14图求各元件发出的功率,并验证功率是否守恒。
解:根据KVL可知,电阻R1上的电压为U1=US1-US2=5-3=2V电路中的电流为I=I1=I2=U1R1=22=1A所以电路中各元件发出的功率为PS1发出=US1I=5×1=5W
PR1发出=-U1I1=-2×1=-2W
PS2发出=-US2I2=-3×1=-3W显然PS1发出+PS2发出+PR1发出=0所以功率守恒。其中独立电压源US2发出的功率为负值,表示实际为吸收功率。名人故事 古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫(Gustav Robert Kirchhoff,1822—1887),德国物理学家,在电学和光谱学领域有重要贡献(两个领域中各有根据其名字命名的基尔霍夫定律)。1847年发表的两个电路定律发展了欧姆定律,对电路理论有重大作用,奠定了电路分析计算的基础。1859年制成分光仪,并与化学家罗伯特·威廉·本生一同创立光谱化学分析法,从而发现了铯和铷两种元素。同年还提出热辐射中的基尔霍夫辐射定律,这是辐射理论的重要基础。1862年创造了“黑体”一词。

版权声明:本文内容由阿里云实名注册用户自发贡献,版权归原作者所有,阿里云开发者社区不拥有其著作权,亦不承担相应法律责任。具体规则请查看《阿里云开发者社区用户服务协议》和《阿里云开发者社区知识产权保护指引》。如果您发现本社区中有涉嫌抄袭的内容,填写侵权投诉表单进行举报,一经查实,本社区将立刻删除涉嫌侵权内容。

分享: