一和零（LeetCode 474）

Description

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

Sample Input 1

strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3

Sample Output 1

4

Sample Tips 1

最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。

其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。

{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

Sample Input 2

strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1

Sample Output 2

2

Sample Tips 2

最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

Tips

• 1 <= strs.length <= 600
• 1 <= strs[i].length <= 100
• strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
• 1 <= m, n <= 100

算法思想：

多重背包是每个物品，数量不同的情况。

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！

而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。

但本题其实是01背包问题！

只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

   dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

   dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

   然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

   所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

   此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

   对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

   这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。

3. dp数组如何初始化

   因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序

   外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

   那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

   for (string str : strs) { // 遍历物品
       int oneNum = 0, zeroNum = 0;
       for (char c : str) {
           if (c == '0') zeroNum++;
           else oneNum++;
       }
       for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
           for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
               dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
           }
       }
   }

5. 推导dp数组

   输入["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3

   dp数组状态图为：

   下标i j:        0  1  2  3
               0   0  1  1  1
               0   1  2  2  2
               0   1  2  3  3
               0   1  2  3  3

综上分析完毕，代码如下：

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

Java代码代码如下：

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        //dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        int oneNum, zeroNum;
        for (String str : strs) {
            oneNum = 0;
            zeroNum = 0;
            for (char ch : str.toCharArray()) {
                if (ch == '0') {
                    zeroNum++;
                } else {
                    oneNum++;
                }
            }
            //倒序遍历
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}