一. 什么是二叉搜索树
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
- 中序遍历二叉搜索树，得到的序列是依次递增的
- 二叉搜索树的结点的值不能发生重复
int a [] = {5,3,4,1,7,8,2,6,0,9};
二. 简单实现一下搜索树
1. 节点结构
static class TreeNode { public int val; public TreeNode left; public TreeNode right; public TreeNode(int val) { this.val = val; } }
2. 查找操作
二叉搜索树的存在就是为了方便查找的，根据二叉搜索树的特点，左子树的元素比根小，右子树的元素比根大，所以我们需要根据根节点的值与目标元素的值比较去实现查找
根与目标元素相等，表示找到了;
目标元素比根小，去左子树找;
目标元素比根大，去右子树找;
左右子树都找不到，则树中不存在要找的元素
代码实现:
//查找元素 public TreeNode search(int key) { TreeNode cur = root; while(cur != null) { if(key < cur.val) { cur = cur.left; }else if(key > cur.val) { cur = cur.right; }else{ return cur; } } return null; }
3. 插入操作
想要在二叉搜索树中插入一个元素，那么就得找到一个可以的插入位置，我们可以利用二叉树的搜索方式去找到一个合适的空位置进行插入;
- 如果树为空树，即根 == null，直接插入
- 如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点
- 根与插入元素相等，树中已经有了这个元素了, 不能重复插入;
- 根比插入元素大，去左子树找;
- 根比插入元素小，去右子树找;
- 找到的结点为空，那这个位置就是我们要找的空位。
代码实现:
//插入元素 public boolean insert (int key) { if(root == null) { root = new TreeNode(key); return true; } TreeNode parent = null; TreeNode cur = root; while(cur != null) { if(key < cur.val) { parent = cur; cur = cur.left; }else if(key > cur.val) { parent = cur; cur = cur.right; }else{ return false;//树中不能有重复的元素 } } TreeNode node = new TreeNode(key); if(key < parent.val) { parent.left = node; }else{ parent.right = node; } return true; }
4. 删除操作
删除情况主要是下面三种场景下的删除, 具体分析如下:
设待删除结点为 cur, 待删除结点的双亲结点为 parent
cur.left == null
cur 是 root，则 root = cur.right
cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right
cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right
cur.right == null
cur 是 root，则 root = cur.left
cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left
cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left
cur.left != null && cur.right != null
可以使用替换法(替罪羊法)进行删除，即在它的右子树中寻找值最小的节点，用它的值填补到被删除节点中，再将这个最小值节点删除即可, 右子树节点的最小值节点的右子树一定是为空的, 所以此时的删除操作又和上面的2类似了; 同样的,也可以采用去找要删除节点左子树的最大值来实现;
最容易忽略的一点是, 找要删除节点的右子树的最小值为例, 如果右子树节点中没有左子树只有右子树; 此时与上面的情况就不相同了
//删除元素 public void romove(int key) { TreeNode parent = null; TreeNode cur = root; while(cur != null) { if(key < cur.val) { parent = cur; cur = cur.left; }else if(key > cur.val) { parent = cur; cur = cur.right; }else{ romoveNode(parent, cur); return true; } } return false; } private void romoveNode(TreeNode parent, TreeNode cur) { if(cur.left == null) { if(cur == root) { root = cur.right; }else if(cur == parent.left) { parent.left = cur.right; }else if(cur == parent.right){ parent.right = cur.right; } }else if(cur.right == null) { if(cur == root) { root = cur.left; }else if(cur == parent.left) { parent.left = cur.left; }else if(cur == parent.right){ parent.right = cur.left; } }else { TreeNode target = cur.right; TreeNode targetParent = cur; while(target.left != null) { targetParent = target; target = target.left; } cur.val = target.val; if(target == targetParent.left) { targetParent.left = target.right; }else {//要删除的节点右边只有一个节点 targetParent.right = target.right; } } }
5. 修改操作
搜索树的修改可以基于删除和插入操作来实现，先将目标元素删除(确定有删除的元素才能有插入操作)，然后再插入修改元素(不能重复插入)。
//修改元素 public void set(int key, int val){ if(search(val) != null) { return; } if(romove(key)) { insert(val); } }
三. 性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度 的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，时间复杂度为: O(logN)
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为: O(N)
