第 13 章 图
1、图基本介绍
1.1、为什么要有图
- 前面我们学了线性表和树
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图
1.2、图的举例说明
- 图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：
1.3、图的常用概念
- 顶点(vertex)
- 边(edge)
- 路径
- 无向图(右图)
- 无向图： 顶点之间的连接没有方向，比如A-B，即可以是 A-> B 也可以 B->A
- 路径：比如从 D -> C 的路径有
- D->B->C
- D->A->B->C
- 有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B，只能是 A-> B 不能是 B->A
- 带权图：这种边带权值的图也叫网
2、图的表示方式
- 图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）
2.1、邻接矩阵
- 邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点
2.2、邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在，会造成空间的一定损失
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
- 邻接表说明：
- 标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
- 标号为1的结点的相关联结点为 0 4
- 标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5
- …
3、图的创建
3.1、代码思路
- 邻接矩阵法：
- 存储顶点：ArrayList
- 存储矩阵：int[][]
- 存储边数：Integer
3.2、图的定义
- 图的定义：
- vertexList ：存储顶点集合
- edges ：邻结矩阵
- numOfEdges ：边的数目（每添加一条边，numOfEdges 加一）
class Graph { private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合 private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵 private int numOfEdges; //表示边的数目 //构造器 public Graph(int n) { //初始化矩阵和vertexList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0; } //插入结点 public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } //添加边 /** * * @param v1 第二个顶点对应的下标 * @param v2 第二个顶点对应的下标 * @param weight 表示权值，0：不连接；1：连接 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges++; } //图中常用的方法 //返回结点的个数 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } // 得到边的数目 public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } // 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C" public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } // 返回v1和v2的权值 public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } // 显示图对应的矩阵 public void showGraph() { for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } }
3.3、代码测试
- 代码
public static void main(String[] args) { //测试一把图是否创建ok String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"}; int n = Vertexs.length; //结点的个数 // String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"}; //创建图对象 Graph graph = new Graph(n); //循环的添加顶点 for(String vertex: Vertexs) { graph.insertVertex(vertex); } //添加边 //A-B A-C B-C B-D B-E graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E //显示一把邻结矩阵 graph.showGraph(); }
- 程序运行结果
[0, 1, 1, 0, 0] [1, 0, 1, 1, 1] [1, 1, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0]
4、图的遍历
4.1、深度优先和广度优先
- 图遍历介绍：所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:
- 深度优先遍历
- 广度优先遍历
4.2、图的深度优先遍历
- 深度优先遍历基本思想，图的深度优先搜索(Depth First Search)
- 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
- 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
- 显然，深度优先搜索是一个递归的过程
