堆

一：定义以及部分性质

1：堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

2：堆总是一棵完全二叉树。

3：最后一个非叶结点是第n/2个结点。这里建堆的时候会用到，复杂度可以降到O(n)；

二：关于建堆

如果一个点为u，那么它的左儿子为2u，右儿子为2u+1

对于小根堆来讲，每个以u为根节点的树，它的左右儿子的值一定大于父节点。

所以对堆进行建立的时候，如果当前点与它的左右儿子并不满足这一性质，就需要进行交换。

对于建堆的过程：

由(一)第三条，我们建堆的时候，只需要从n/2开始，到1即可。因为已知最后一个非叶结点是n/2，那么>n/2的结点，都是叶子结点，它本身所构成的子树只有它本身。一定符合小根堆性质，所以是没必要看的。我们从第n/2结点开始，每次让它向下比较一次，变为局部的合法(比如第一次只有三个点，满足父节点都小于左右儿子结点)。然后它的向上的父节点再向下比较，那么每次比较，都会得到一个局部合法的子树(本次进行的父节点往下的子树)。所有的n/2~1都这么操作，一定可以把整个完全二叉树变成合法的小根堆。

有：

for(int i=n/2;i>=1;i--)
{
    down(i);
}

对于向下比较的过程，我们定为down(u)函数。由小根堆的性质，u为父节点，那么它的左右儿子h[2u]和h[2u+1]都要大于它，否则就要进行交换：

void down(int u)
{

//t表示三个点中的最小值 
int t=u;
//判断是否有左儿子
if(u*2<=siz&&h[2*u]<h[t]) 
{
    t=2*u;
}
//是否有右儿子
if(2*u+1<=siz&&h[2*u+1]<h[t])
{
    t=2*u+1;
}
if(u!=t)
{

　　　　　//需要交换，则交换，继续down往下判断

    swap(h[u],h[t]);
    down(t);
}

}
只要down()就可以把堆给建好了。

关于up操作：

比down更简单，只需要与它的父节点u/2进行比较即可，非法即交换。

void up(int u)
{

while(u/2>=1&&h[u/2]>h[u])
{
    swap(u,u/2);
    u=u/2;
}

}
三：堆的操作

定siz为树大小

1：插入一个数：

直接在末尾加一个，所以++size处插入新数，然后进行更新树。由于此时它处于树的最底部，所以直接up(size)即可。

2：求集合中最小值：

h[1]

3：删除最小值：

把树尾覆盖上去，siz--，由于此时它处于树的顶部，所以直接down(1)即可。

4：删除任意一个元素：

删除K号结点。与3类似，直接把树尾覆盖上去，siz--，但是需要up(k)或down(k)一遍，为了简便，把up和down都写上，只会执行其中一个。

5：修改任意一个元素

直接修改h[k]=x，up(k),down(k)

四：堆排序

堆的其中一个作用，堆排序：时间复杂度O(NlogN)

输入一个长度为N的整数数列，从小到大输出前M小的数

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10,maxn2=31*maxn;
int n,m;
int h[maxn],siz;//1~n
void down(int u)
{
    //t表示三个点中的最小值 
    int t=u;
    //判断是否有左儿子
    if(u*2<=siz&&h[2*u]<h[t]) 
    {
        t=2*u;
    }
    if(2*u+1<=siz&&h[2*u+1]<h[t])
    {
        t=2*u+1;
    }
    if(u!=t)
    {
        swap(h[u],h[t]);
        down(t);
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>h[i];
    }
    siz=n;
    for(int i=n/2;i>=1;i--)
    {
        down(i);
    }
    while(m--)
    {
        cout<<h[1]<<" ";
        h[1]=h[siz]; //更新最小值
        siz--;
        down(1);
    }
    return 0;
}