阶乘的作用 | 学习笔记

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阶乘的作用

内容介绍

一、阶乘的意思

二、多项式逼近

三、例题１

四､  例题2

一、阶乘的意思

如果把 9 次的和 2 次的直接放在一起，那 2 次的就不用玩了。

但是在开始的时候应该是 2 次的效果更好，之后才是慢慢轮到 9 次的呀!

X² 被 X⁹ 完全压制

X⁹+X² 几乎只有 X⁹ 的特性  高阶的幂函数增长太快!

X⁹ 增长速度大于 X² 的增长速度，比上阶乘在左边既可以体现出二次幂的特性，在右边体现出九次幂的特性。

加上阶乘之后，曲线没有完全靠 X⁹。

有了 9！和 2！的帮助后函数图像先呈现 a2 的特性随着 a2 增大再呈现 X² 的特性。

导数是控制方向的，Xⁿ 是控制曲线的逼近，再比上一个阶乘表示哪部分起了一个什么样的作用。

二、多项式逼近

逼近 sin x

最基本的 y=x 的这条线看起来不够，再把它在 x=0 展开。绿色曲线接触的高一些，蓝色要比绿色好一些。

三、例题１

求函数 f(x)=e^x 的 n 阶麦克劳林展开式

因为 f'(x)=f'(x)=...=f⁽ⁿ⁾(x)=e^x

所以 f(0)=f'(0)=f"(0)=...f⁽ⁿ⁾(0)=1.

故

四､例题2

求函数 f(x)=sinx 的 n 阶麦克劳林展开式.

因为 f'(x)=cosx,f"(x)=-sinx,f"'=-cosx,

f⁽⁴⁾(x)=sinx,...,f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+n^.π/2)，

所以

令 n=2m, 于是有