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专栏内容
✨--- 【机器学习】浅谈正规方程法&梯度下降 ---✨
✨--- 第十届“泰迪杯“感谢学习总结---✨

正规方程法（最小二乘）与 梯度下降法都是为了求解线性回归的最优参数，但是不同的是正规方程法只需要一步就可以得到代价函数最优点，而梯度下降则是迭代下降，看起来似乎正规方程法要好得多，但实际梯度下降使用场景更多，下面我们介绍这两种算法以及优缺点

一、梯度下降

1.1 一个参数

• 我们从最简单的线性方程解释，后面推广到的多个参数的方程

典型的房价预测问题

我们假设其数据模型为线性回归模型，方程如下

$h_\theta(x)$ = $\theta_1*x$
我们希望能求出$\theta_1$参数，让方程$h_\theta(x)$ 更加拟合数据，梯度下降的方法就是通过求 代价函数最小得到最优参数或者局部最优参数的，

代价函数
代价函数就是实际数据与数学模型（这里是一元一次方程）所预测的差值的平方之和的平均值，（其中$y$ 为真实预测值）

• $J_\theta(x)$ = $\sum_{x=1}^n \frac{（h_\theta(x) - y）^2}{ n }$ （代价函数方程$J_\theta(x)$ ）

如：

蓝线的长度就是代价函数，可以看到代价函数越大拟合效果越差，代价函数越小，拟合效果越好。

其中关于 所求方程$h_\theta(x)$（左图）和 $\theta_1$ 的的代价函数$(\theta_1)$(右图）如下图：

可以看到当方程越拟合数据，代价函数越小，当代价函数$J(\theta_1)$值为0时，回归方程$h_\theta(x)$完全拟合数据，此时我们要做的就是让代价函数变小。
（后面所讲的正规方程解法就是直接令代价函数为0，求解$\theta$参数的）

1.2梯度下降核心方程

迭代求解方程
$\theta_1$ = $\theta_1$ - $\alpha*\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}$

其中$\alpha$是学习率， $\frac{δJ(\theta_0)}{δ\theta_0}$ 是对代价函数$J(\theta_1)$求关于$\theta_1$ 的偏导数，由于只有一个参数（一阶），所以这里的方程 $\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}$ 也可以表示为 $\frac{dJ(\theta_1)}{d\theta_1}$ (即求导数）。
原理讲解

• 当$\theta_1$ 所在的代价函数区间是单调递增的，如下图（红线标记），

此时$\frac{dJ(\theta_1)}{d\theta_1}$ （即$h_\theta(x)$的斜率）大于0，则$\theta_1$ = $\theta_1$ - $\alpha*\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}$ 为 $\theta_1$ 减去一个正数，$\theta_1$往左边退（向代价函数最小值靠近），

• 当$\theta_1$ 所在的代价函数区间是单调递减时的如图（蓝线标记），此时$\theta_1$ = $\theta_1$ - $\alpha*\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}$ 为 $\theta_1$ 减去一个负数，$\theta_1$往右边退（向代价函数最小值靠近）

1.3学习率$\alpha$

有时我们的迭代方程下降时，可能很缓慢，
需要走很多步（化很久时间）才能到达局部最优或者全局最优 如下图：

此时学习率$\alpha$的作用就是调整步子长度，让其更快的下降到局部最优或者全局最优
注意：

$\alpha$需要根据数据调节，

• 设置大了，走一步太大了跳到对面那一头了，与想要的结果违背，如图

• 设置小了，步子又太小，所以设置$\alpha$也是一个细活

1.4两个参数

两个参数 $\theta_1$,$\theta_0$,方程为

$h_\theta(x)$ = $\theta_0 +$ $\theta_1*x$

迭代求解方程 (注意：参数是同步更新的，你的腿只能走一步）

• $\theta_0$ = $\theta_0$ - $\alpha*\frac{δJ(\theta_0)}{δ\theta_0}$
• $\theta_1$ = $\theta_1$ - $\alpha*\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}$

此时的代价函数为$J(\theta_0,\theta_1)$，如下图（是一个碗状，与一个参数的图像一样都是凹函数）

为了更好理解，我们可以绘制出其的等高线

则目标所求的既是 等高线中心 或 碗底，即让代价函数最小

1.5多个参数

在问题案例中，往往有个参数 $\theta_i(i=1,2,3...)$

此时的代价方程则时关于多个$\theta_i$参数，如图

迭代求解方程 ( 注意：参数是同步更新的，你的腿只能走一步）

$\theta_0$ = $\theta_0$ - $\alpha*\frac{δJ(\theta_0)}{δ\theta_0}$
$\theta_1$ = $\theta_1$ - $\alpha*\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}$
$\theta_2$ = $\theta_2$ - $\alpha*\frac{δJ(\theta_2)}{δ\theta_2}$
........
$\theta_n$ = $\theta_n$ - $\alpha*\frac{δJ(\theta_n)}{δ\theta_n}$

从中也可以看到在梯度下降迭代中，有两个最优结果（其他案例可能有许多），

整个迭代过程可以形象的理解为 你现在在山顶，要找一条最快的路下山，山底就是你的目标地点，也就是 代价函数最小

1.6数据标准化

梯度下降在量化纲位不同，如果数
据范围分别是是【0~1000，0 ~5】或者【-0.00004 ~ 0.00002，10 ~ 30】, 那么在使用梯度下降算法时，他们的等高线是一个又窄又高的等高线，如下图：

在梯度下降算法中，参数更新就会如上图左右震荡，收敛缓慢，我们就需要对特征进行特征缩放---数据标准化

二、正规解法

对正规解法来说，一般例子是对代价函数$J(θ)$求偏导数，令其为 0 便可以直接算出 最优参数$θ$,但大多数情况下$θ$是一个多维向量(即有多个参数 $\theta_i(i=1,2,3...)$），此时代价函数$f(θ)$是关于$θ$多维向量的函数，那么要求从$θ_0$ 到 $θ_n$的值，就分别对对应的$θ_i$(i = 1,2,3,4....)求偏导数，并令其为0求其最优参数.

假设有M个数据，每个数据N个特征
方程如下：

$θ = (x^T * x )^{-1} * x^T * y$

这里的$x$为矩阵，该矩阵每一行为$x_i(i=1,2,3...)$（$x_i$为列向量，维度为特征N）的向量转置组成，即任意一行的每一列为$x_i$其特征
$x$矩阵同下图A矩阵：

这里的 $a_{11}$代表第一个数据$x_1$的第一个特征值，依次往下，化简即为

第一行即为$x_1$N维向量的的转置

方程原理讲解视频：

【线性回归】正规方程（最小二乘法)】

由于正规方程是直接求解，所以不需要迭代熟练，不需要“下山",所以不需要对其进行特征缩放（如梯度下降需要数据标准化）

2，1 使用场景和优缺点

假设我们有M个数据集，N个特征

• 梯度下降缺点： 首先需要先提前设定好学习率，并调试，这无疑是额外的工作 需要尝试不同的学习率 ，
  梯度下降缺点：需要多次迭代下降，计算可能会更慢
  x

• 正规解法缺点:在对于大量的数据来说，梯度学习也可以很好的运行结果，而正规方程求解中 $(x^T * x )^{-1}$ 这一步中，其维度即为x的特征维度，由于计算机在计算矩阵的逆 的时间复杂度时$O（n^3）$ ,在特征维度非常大时，运行时间很久，

综上所述：
可以看到他们二者适用场景 不同于数据的大小， 那我们怎么定义数据"大"还是"小"呢, 吴恩达老师给出了一个比较好的区间：

N > 10000 => 梯度下降
N < 10000 => 正规解法
但是不是绝对的判断，还需要根据情况而定

2.2 正规方程（不可逆性）* 选读

1. 方阵中的两个维度之间存在线性变换关系，导致方阵不满秩
2. n（特征数量）相较于m（样本数量）过大，导致其产生的齐次方程组Ax=0不只有零解

这些不可逆的矩阵我们称为奇异矩阵，逆矩阵在不存在时，我们所求的逆矩阵为伪逆

实际上我们案例对应的情况有

1. 如，房价预测多了一些特征值，而这个特征值和所有特征值有线性相关，即出现上述第一种情况
2. 在特征n >= 数据集数量m的情况下，例如 10 个数据 ，每个数据有 100 个特征，那么我们所要求的θ就是一个101维向量，10个样本太少了，求得的结果偏离真实值，对应上述情况二，这个时候我们可以减去一些特征，或者使用正则化方法（）

其实这种不可逆的情况非常少见，所以在平时案例不用特别担心