题目描述
这是 LeetCode 上的 331. 验证二叉树的前序序列化 ，难度为 中等。
Tag : 「二叉树」
序列化二叉树的一种方法是使用前序遍历。当我们遇到一个非空节点时，我们可以记录下这个节点的值。如果它是一个空节点，我们可以使用一个标记值记录。
例如：
_9_ / \ 3 2 / \ / \ 4 1 # 6 / \ / \ / \ # # # # # # 复制代码
例如，上面的二叉树可以被序列化为字符串 "9,3,4,#,#,1,#,#,2,#,6,#,#"，其中 # 代表一个空节点。
给定一串以逗号分隔的序列，验证它是否是正确的二叉树的前序序列化。编写一个在不重构树的条件下的可行算法。
每个以逗号分隔的字符或为一个整数或为一个表示 null 指针的 '#' 。
你可以认为输入格式总是有效的，例如它永远不会包含两个连续的逗号，比如 "1,,3" 。
示例 1:
输入: "9,3,4,#,#,1,#,#,2,#,6,#,#" 输出: true 复制代码
示例 2:
输入: "1,#" 输出: false 复制代码
示例 3:
输入: "9,#,#,1" 输出: false 复制代码
二叉树规律解法
事实上，我们能利用「二叉树」的特性来做。
由于每一个非空节点都对应了 2 个出度，空节点都对应了 0 个出度；除了根节点，每个节点都有一个入度。
我们可以使用 in 和 out 来分别记录「入度」和「出度」的数量；m 和 n 分别代表「非空节点数量」和「空节点数量」。
同时，一颗合格的二叉树最终结果必然满足 in == out。
但我们又不能只利用最终 in == out 来判断是否合法，这很容易可以举出反例：考虑将一个合法序列的空节点全部提前，这样最终结果仍然满足 in == out，但这样的二叉树是不存在的。
我们还需要一些额外的特性，支持我们在遍历过程中提前知道一颗二叉树不合法。
例如，我们可以从合格二叉树的前提出发，挖掘遍历过程中 in 和 out 与 n 和 m 的关系。
证明 1（利用不等式）
我们令非空节点数量为 m，空节点数量为 n，入度和出度仍然使用 in 和 out 代表。
找一下 in 和 out 与 n 和 m 之间的关系。
一颗合格二叉树 m 和 n 的最小的比例关系是 1 : 2，也就是对应了这么一个形状：
4 / \ # # 复制代码
而遍历过程中 m 和 n 的最小的比例关系则是 1 : 0，这其实对应了二叉树空节点总是跟在非空节点的后面这一性质。
换句话说，在没到最后一个节点之前，我们是不会遇到 空节点数量 > 非空节点数量 的情况的。
非空节点数量 >= 空节点数量 在遍历没结束前恒成立：m>=n
然后再结合「每一个非空节点都对应了 2 个出度，空节点都对应了 0 个出度；除了根节点，每个节点都有一个入度」特性。
在遍历尚未结束前，我们有以下关系：
- m >= nm>=n
- in <= m + n - 1in<=m+n−1
- out <= 2 * mout<=2∗m
简单的变形可得：
- 由 2 变形可得：m >= in + 1 - nm>=in+1−n
- 由 3 变形可得：m >= out / 2m>=out/2
即有：
- m >= nm>=n
- m >= in + 1 - nm>=in+1−n
- m >= out / 2m>=out/2
再将 1 和 2 相加，抵消 n：2m >= in + 12m>=in+1
- 2m >= in + 12m>=in+1 => in <= 2m - 1in<=2m−1
- m >= out / 2m>=out/2 => out <= 2mout<=2m
因此，在遍历尚未完成时，in 和 out 始终满足上述关系（与空节点数量 n 无关）。
如果不从合格二叉树的前提（m>=nm>=n）出发，我们是无法得到上述关系式的。
因此，我们可以一边遍历一边统计「严格出度」和「严格入度」，然后写一个 check 函数去判定 inoutm 三者关系是否符合要求，如果不符合则说明二叉树不合法。
class Solution { public boolean isValidSerialization(String s) { String[] ss = s.split(","); int n = ss.length; int in = 0, out = 0; for (int i = 0, m = 0; i < n; i++) { // 统计「严格出度」和「严格入度」... if (i != n - 1 && !check(m, in, out)) return false; } return in == out; } boolean check(int m, int in, int out) { boolean a = (in <= 2 * m - 1), b = (out <= 2 * m); return a && b; } } 复制代码
注意：因为我们这里的证明使用到的是不等式。因此统计的必须是「严格出度」&「严格入度」，不能假定一个「非空节点（非根）」必然对应两个「出度」和一个「入度」。
要想统计出「严格出度」&「严格入度」在编码上还是有一定难度的。那么是否可以推导
出更加简单性质来使用呢？
请看「证明 2」。
证明 2（利用技巧转换为等式）
我们令非空节点数量为 m，空节点数量为 n，入度和出度仍然使用 in 和 out 代表。
找一下 in 和 out 与 n 和 m 之间的关系。
一颗合格二叉树 m 和 n 的最小的比例关系是 1 : 2，也就是对应了这么一个形状：
4 / \ # # 复制代码
而遍历过程中 m 和 n 的最小的比例关系则是 1 : 0，这其实对应了二叉树空节点总是跟在非空节点的后面这一性质。
换句话说，在没到最后一个节点之前，我们是不会遇到 空节点数量 > 非空节点数量 的情况的。
非空节点数量 >= 空节点数量 在遍历没结束前恒成立：m>=nm>=n
之后我们再采用一个技巧，就是遍历过程中每遇到一个「非空节点」就增加两个「出度」和一个「入度」，每遇到一个「空节点」只增加一个「入度」。而不管每个「非空节点」是否真实对应两个子节点。
那么我们的起始条件变成：
- m >= nm>=n
- in = m + n - 1in=m+n−1
- out = 2 * mout=2∗m
从第 2 个等式出发，结合第 1 个等式：
in = m + n - 1 <= m + m - 1 = 2m - 1 = out - 1in=m+n−1<=m+m−1=2m−1=out−1
即可得 in + 1 <= outin+1<=out ，也就是 in < out 恒成立。
代码：
class Solution { public boolean isValidSerialization(String s) { String[] ss = s.split(","); int n = ss.length; int in = 0, out = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { if (!ss[i].equals("#")) out += 2; if (i != 0) in++; if (i != n - 1 && out <= in) return false; } return in == out; } } 复制代码
- 时间复杂度：O(n)O(n)
- 空间复杂度：O(n)O(n)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.331 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。
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