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题目描述
这是 LeetCode 上的 74. 搜索二维矩阵 ，难度为 中等。
Tag : 「二叉搜索树」、「二分」
编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：
每行中的整数从左到右按升序排列。 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。
示例 1：
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输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3 输出：true 复制代码
示例 2：
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输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 13 输出：false 复制代码
提示：
- m == matrix.length
- n == matrix[i].length
- 1 <= m, n <= 100
- -10^4104 <= matrix[i][j], target <= 10^4104
二分解法（一）
由于二维矩阵固定列的「从上到下」或者固定行的「从左到右」都是升序的。
因此我们可以使用两次二分来定位到目标位置：
- 第一次二分：从第 0 列中的「所有行」开始找，找到合适的行
row - 第二次二分：从
row中「所有列」开始找，找到合适的列col
代码：
class Solution { public boolean searchMatrix(int[][] mat, int t) { int m = mat.length, n = mat[0].length; // 第一次二分：定位到所在行（从上往下，找到最后一个满足 mat[x]][0] <= t 的行号） int l = 0, r = m - 1; while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (mat[mid][0] <= t) { l = mid; } else { r = mid - 1; } } int row = r; if (mat[row][0] == t) return true; if (mat[row][0] > t) return false; // 第二次二分：从所在行中定位到列（从左到右，找到最后一个满足 mat[row][x] <= t 的列号） l = 0; r = n - 1; while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (mat[row][mid] <= t) { l = mid; } else { r = mid - 1; } } int col = r; return mat[row][col] == t; } } 复制代码
- 时间复杂度：O(\log{m} + \log{n})O(logm+logn)
- 空间复杂度：O(1)O(1)
二分解法（二）
当然，因为将二维矩阵的行尾和行首连接，也具有单调性。
我们可以将「二维矩阵」当做「一维矩阵」来做。
代码：
class Solution { public boolean searchMatrix(int[][] mat, int t) { int m = mat.length, n = mat[0].length; int l = 0, r = m * n - 1; while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (mat[mid / n][mid % n] <= t) { l = mid; } else { r = mid - 1; } } return mat[r / n][r % n] == t; } } 复制代码
- 时间复杂度：O(\log{(m * n)})O(log(m∗n))
- 空间复杂度：O(1)O(1)
抽象 BST 解法
我们可以将二维矩阵抽象成「以右上角为根的 BST」：
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那么我们可以从根（右上角）开始搜索，如果当前的节点不等于目标值，可以按照树的搜索顺序进行：
- 当前节点「大于」目标值，搜索当前节点的「左子树」，也就是当前矩阵位置的「左方格子」，即 y--
- 当前节点「小于」目标值，搜索当前节点的「右子树」，也就是当前矩阵位置的「下方格子」，即 x++
代码：
class Solution { int m, n; public boolean searchMatrix(int[][] mat, int t) { m = mat.length; n = mat[0].length; int x = 0, y = n - 1; while (check(x, y) && mat[x][y] != t) { if (mat[x][y] > t) { y--; } else { x++; } } return check(x, y) && mat[x][y] == t; } boolean check(int x, int y) { return x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n; } } 复制代码
- 时间复杂度：O(m+n)O(m+n)
- 空间复杂度：O(1)O(1)
拓展
如果你掌握了上述解法的话，你还可以试试这题：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.74 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour…
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