一文详解如何思考「区间求和」问题｜Java 刷题打卡

题目描述

这是 LeetCode 上的 1310. 子数组异或查询 ，难度为 中等。

Tag : 「数学」、「树状数组」、「前缀和」

有一个正整数数组 arr，现给你一个对应的查询数组 queries，其中 queries[i] = [Li, Ri]。

对于每个查询 i，请你计算从 Li 到 Ri 的 XOR 值（即 arr[Li] xor arr[Li+1] xor ... xor arr[Ri]）作为本次查询的结果。

并返回一个包含给定查询 queries 所有结果的数组。

示例 1：

输入：arr = [1,3,4,8], queries = [[0,1],[1,2],[0,3],[3,3]]
输出：[2,7,14,8] 
解释：
数组中元素的二进制表示形式是：
1 = 0001 
3 = 0011 
4 = 0100 
8 = 1000 
查询的 XOR 值为：
[0,1] = 1 xor 3 = 2 
[1,2] = 3 xor 4 = 7 
[0,3] = 1 xor 3 xor 4 xor 8 = 14 
[3,3] = 8
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示例 2：

输入：arr = [4,8,2,10], queries = [[2,3],[1,3],[0,0],[0,3]]
输出：[8,0,4,4]
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提示：

• 1 <= arr.length <= 3 * 10410^4104
• 1 <= arr[i] <= 10910^9109
• 1 <= queries.length <= 3 * 10410^4104
• queries[i].length == 2
• 0 <= queries[i][0] <= queries[i][1] < arr.length

基本分析

令数组 arr 和数组 queries 的长度分别为 n 和 m。

n 和 m 的数据范围均为 10410^4104，因此 O(m∗n)O(m * n)O(m∗n) 的暴力做法我们不用考虑了。

数据范围要求我们做到「对数复杂度」或「线性复杂度」。

本题主要利用异或运算中的「相同数值进行运算结果为 000」的特性。

对于特定数组 [a1,a2,a3,...,an][a1, a2, a3, ... , an][a1,a2,a3,...,an]，要求得任意区间 [l,r][l, r][l,r] 的异或结果，可以通过 [1,r][1, r][1,r] 和 [1,l−1][1, l - 1][1,l−1] 的异或结果得出：

xor(l,r)=xor(1,r)⊕xor(1,l−1)xor(l, r) = xor(1, r) ⊕ xor(1, l - 1)xor(l,r)=xor(1,r)⊕xor(1,l−1)

本质上还是利用集合（区间结果）的容斥原理。只不过前缀和需要利用「减法（逆运算）」做容斥，而前缀异或是利用「相同数值进行异或结果为 000（偶数次的异或结果为 000）」的特性实现容斥。

对于「区间求值」问题，之前在 【题解】307. 区域和检索 - 数组可修改 也做过总结。

针对不同的题目，有不同的方案可以选择（假设有一个数组）：

1. 数组不变，求区间和：「前缀和」、「树状数组」、「线段树」
2. 多次修改某个数，求区间和：「树状数组」、「线段树」
3. 多次整体修改某个区间，求区间和：「线段树」、「树状数组」（看修改区间的数据范围）
4. 多次将某个区间变成同一个数，求区间和：「线段树」、「树状数组」（看修改区间的数据范围）

虽然「线段树」能解决的问题最多，但「线段树」代码很长，且常数很大，实际表现不算好。我们只有在不得不用的情况下才考虑「线段树」。

本题我们使用「树状数组」和「前缀和」来求解。

树状数组

使用「树状数组」分段记录我们某些区间的「异或结果」，再根据 queries 中的询问将分段「异或结果」汇总（执行异或运算），得出最终答案。

代码：

class Solution {
    int n;
    int[] c = new int[100009];
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void add(int x, int u) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] ^= u;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans ^= c[i];
        return ans;
    }
    public int[] xorQueries(int[] arr, int[][] qs) {
        n = arr.length;
        int m = qs.length;
        for (int i = 1; i <= n; i++) add(i, arr[i - 1]);
        int[] ans = new int[m];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int l = qs[i][0] + 1, r = qs[i][1] + 1;
            ans[i] = query(r) ^ query(l - 1);
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：令 arr 数组长度为 n，qs 数组的长度为 m。创建树状数组复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)；查询的复杂度为 O(mlog⁡n)O(m\log{n})O(mlogn)。整体复杂度为 O((n+m)log⁡n)O((n + m) \log{n})O((n+m)logn)
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

前缀异或

「树状数组」的查询复杂度为 O(log⁡n)O(\log{n})O(logn)，而本题其实不涉及「修改操作」，我们可以使用「前缀异或」来代替「树状数组」。

虽说「树状数组」也有 O(n)O(n)O(n) 的创建方式，但这里使用「前缀异或」主要是为了降低查询的复杂度。

代码：

class Solution {
    public int[] xorQueries(int[] arr, int[][] qs) {
        int n = arr.length, m = qs.length;
        int[] sum = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] ^ arr[i - 1];
        int[] ans = new int[m];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int l = qs[i][0] + 1, r = qs[i][1] + 1;
            ans[i] = sum[r] ^ sum[l - 1];
        }
        return ans;
    }
}
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• 时间复杂度：令 arr 数组长度为 n，qs 数组的长度为 m。预处理前缀和数组复杂度为 O(n)O(n)O(n)；查询的复杂度为 O(m)O(m)O(m)。整体复杂度为 O(n+m)O(n + m)O(n+m)
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1310 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

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