【C++练级之路】【Lv.15】AVL树（双子旋转，领略绝对平衡之美）-阿里云开发者社区

引言

之前讲解了二叉搜索树，最优情况下它具有非常好的搜索性能，但是在极端场景下，它可能退化为单支树，可以形象地称为歪脖子树~

这样的话，它搜索的时间复杂度会从O(log₂N)退化为O(N²)，完全丧失了其优良的搜索性能。那么AVL树就可以登场了，它就是为解决这类问题而生的！

一、AVL树的概念

两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了AVL树，AVL树满足两条性质：

它的左右子树都是AVL树
任意结点的左右子树高度差的绝对值不超过1

这样通过控制子树高度差，让AVL树几乎完美接近于平衡，便不会出现单支树的情况，保证了优良的搜索性能，因此AVL树又称为高度平衡二叉搜索树。

二、AVL树的模拟实现

2.1 结点

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
  AVLTreeNode<K, V>* _left;
  AVLTreeNode<K, V>* _right;
  AVLTreeNode<K, V>* _parent;
  pair<K, V> _kv;
  int _bf;//balance factor

  AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
    : _left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    , _parent(nullptr)
    , _kv(kv)
    , _bf(0)
  {}
};

细节：

使用三叉链，增加了指向parent的指针
使用KV模型，数据存储键值对pair
结点存储平衡因子，用来记录左右子树高度差

注：平衡因子计算高度差，是右子树高度 - 左子树高度

2.2 成员变量

template<class K, class V>
class AVLTree
{
protected:
  typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
protected:
  Node* _root = nullptr;
};

2.3 插入

因为AVL树也是二叉搜索树，所以默认成员函数和遍历与之前写的没什么不同，这里重点讲解AVL树的插入。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
  if (_root == nullptr)
  {
    _root = new Node(kv);
    return true;
  }

  Node* parent = nullptr;
  Node* cur = _root;
  while (cur)
  {
    if (cur->_kv.first < kv.first)
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_right;
    }
    else if (cur->_kv.first > kv.first)
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_left;
    }
    else
    {
      return false;
    }
  }

  cur = new Node(kv);
  if (parent->_kv.first < kv.first)
  {
    parent->_right = cur;
  }
  else
  {
    parent->_left = cur;
  }
  cur->_parent = parent;

  while (parent)//讨论平衡因子
  {
    if (cur == parent->_right)
    {
      ++parent->_bf;
    }
    else
    {
      --parent->_bf;
    }

    if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
    {
      parent = parent->_parent;
      cur = cur->_parent;
    }
    else if (parent->_bf == 0)
    {
      break;
    }
    else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
    {
      //旋转
      if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
      {
        RotateL(parent);
      }
      else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
      {
        RotateR(parent);
      }
      else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
      {
        RotateLR(parent);
      }
      else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
      {
        RotateRL(parent);
      }
      else
      {
        assert(false);
      }
      break;
    }
    else
    {
      assert(false);
    }
  }

  return true;
}

思路：

以二叉搜索树的方式正常插入
讨论平衡因子，以及调整结构

这里的重点在于如何讨论和调整平衡因子(bf)。

首先，插入cur结点，调整parent结点的bf，左减右加
讨论parent的bf

bf为0
bf为1或-1
bf为2或-2

bf为0时：

分析：此时没有增加高度，而是补上缺口，整棵树是平衡的，直接break即可

bf为1或-1时：

分析：此时增加了局部子树的高度，不确定有没有影响整体的高度差，所以要继续向上调整

parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;

bf为2或-2时：

此时bf已经超出平衡限制区间，需要进行结构调整，我们称之为旋转。

2.4 旋转

旋转分为两大类：单旋和双旋。而单旋分为左单旋和右单旋，双旋分为左右旋和右左旋。

2.4.1 左单旋

场景：右部外侧插入

过程：

parent接过subR的左子树subRL
subR左边再链接parent

void RotateL(Node* parent)//左单旋
{
  Node* grandparent = parent->_parent;
  Node* subR = parent->_right;
  Node* subRL = subR->_left;

  parent->_right = subRL;
  if (subRL)
  {
    subRL->_parent = parent;
  }

  subR->_left = parent;
  parent->_parent = subR;

  if (grandparent)
  {
    if (grandparent->_right == parent)
    {
      grandparent->_right = subR;
    }
    else
    {
      grandparent->_left = subR;
    }
  }
  else
  {
    _root = subR;
  }
  subR->_parent = grandparent;

  parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

细节：

大体是三步链接，注意双向链接
注意判空（subRL，grandparent）
如果判空，注意_root的传递
最后调整平衡因子_bf

2.4.2 右单旋

场景：左部外侧插入

过程：

parent接过subL的右子树subLR
subL右边再链接parent

void RotateR(Node* parent)//右单旋
{
  Node* grandparent = parent->_parent;
  Node* subL = parent->_left;
  Node* subLR = subL->_right;

  parent->_left = subLR;
  if (subLR)
  {
    subLR->_parent = parent;
  }

  subL->_right = parent;
  parent->_parent = subL;

  if (grandparent)
  {
    if (grandparent->_right == parent)
    {
      grandparent->_right = subL;
    }
    else
    {
      grandparent->_left = subL;
    }
  }
  else
  {
    _root = subL;
  }
  subL->_parent = grandparent;

  parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

细节：同左单旋

2.4.3 左右旋

场景：左部内侧插入

过程：

先对subL进行左单旋
再对parent进行右单旋

void RotateLR(Node* parent)//左右旋
{
  Node* subL = parent->_left;
  Node* subLR = subL->_right;
  int bf = subLR->_bf;

  RotateL(subL);
  RotateR(parent);

  if (bf == 1)
  {
    subL->_bf = -1;
    subLR->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
  }
  else if (bf == -1)
  {
    subL->_bf = 0;
    subLR->_bf = 0;
    parent->_bf = 1;
  }
  else if (bf == 0)
  {
    subL->_bf = 0;
    subLR->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
  }
  else
  {
    assert(false);
  }
}

细节：

这里旋转直接复用前面单旋的代码
主要的重点，在于平衡因子bf的讨论

bf为1，在subLR的右侧插入
bf为-1，在subLR的左侧插入
bf为0，插入subLR（之前为空）

2.4.4 右左旋

场景：右部内侧插入

过程：

先对subR进行右单旋
再对parent进行左单旋

void RotateRL(Node* parent)//右左旋
{
  Node* subR = parent->_right;
  Node* subRL = subR->_left;
  int bf = subRL->_bf;

  RotateR(subR);
  RotateL(parent);

  if (bf == 1)
  {
    parent->_bf = -1;
    subRL->_bf = 0;
    subR->_bf = 0;
  }
  else if (bf == -1)
  {
    parent->_bf = 0;
    subRL->_bf = 0;
    subR->_bf = 1;
  }
  else if (bf == 0)
  {
    parent->_bf = 0;
    subRL->_bf = 0;
    subR->_bf = 0;
  }
  else
  {
    assert(false);
  }
}

细节：同左右旋

综上所述，旋转的目的：保证平衡，同时降低树的高度。

三、AVL树的验证

我们主要验证左右子树高度是否平衡，即高度差是否小于等于1

bool IsBalance()
{
  return _IsBalance(_root);
}

int Height(Node* root)
{
  if (root == nullptr)
  {
    return 0;
  }

  int leftH = Height(root->_left);
  int rightH = Height(root->_right);

  return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}

bool _IsBalance(Node* root)
{
  if (root == nullptr)
  {
    return true;
  }

  int leftH = Height(root->_left);
  int rightH = Height(root->_right);

  if (rightH - leftH != root->_bf)
  {
    cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
    return false;
  }

  return abs(rightH - leftH) <= 1
    && _IsBalance(root->_left)
    && _IsBalance(root->_right);
}

细节：

为了方便计算高度，写一个Height函数
在子函数递归中，计算高度差是否小于等于1
与此同时，还要检查平衡因子是否正常

四、AVL树的性能

4.1 优势

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。

4.2 缺陷

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

4.3 适用场景

因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

真诚点赞，手有余香

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