系统函数和状态方程的转换

简介: 系统函数和状态方程的转换

1.问题介绍


之前碰到这样一个问题:给定一个正弦信号以及系统传递函数,利用该系统传递函数进行卡尔曼滤波。


利用卡尔曼进行滤波首先要知道系统的状态方程,那么题目只给了系统传递函数,如何能够得到状态方程呢?


首先先看一下传递函数和状态方程。


传递函数:


1b740cb4a8f8c5bb79d2e18c1d58ad95_eq_H%28s%29%3D%5Cfrac%7BY%28s%29%7D%7BX%28s%29%7D.png


其中H(s)是系统函数,X(s)是系统输入函数,Y(s)是系统输出函数。


状态方程:


7a361580f6c833f3a95f6ac722a29a8a_eq_%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cdot%7Bx%28t%29%7D%3DAx%28t%29+Bu%28t%29%5C%5C%20y%28t%29%3DCx%28t%29+Dv%28t%29%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright..png


其中A是状态转移矩阵、C的观测矩阵、B和D是噪声矩阵。


2.问题求解


例如已知系统传递函数为


116af240c31abc47163481878065fef4_eq_H%28s%29%3D%5Cfrac%7Bs%5E2+2s+1%7D%7Bs%5E3+2s%5E2+3s+1%7D.png


求对应状态方程的系数矩阵。


2.1 传递函数转状态方程


传递函数转状态方程的matlab的调用格式为:[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)。


对应matlab代码如下:


clc,clear
num=[1,2,1];
den=[1,2,3,1];
sys=tf(num,den)
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

结果如下:


4388847256057b67c031fae97669deb1_826d09a9179d444cbb3f5acf3df3bad2.png


此时的系统函数为:


2f30677c38dc8853b0000a944383a7fd_badf3ddaeb294042b7c1c3d9b3ae2dbd.png


2.2 状态方程转传递函数


状态方程转传递函数的matlab的调用格式为:[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)。


对应matlab代码如下:


[b,a]=ss2tf(A,B,C,D)

结果如下:


35d6516d6a78663288deda3af2b6d5e9_3ec3e817baf2405e8934591cabfe14d9.png


此时的系统函数为:


e0d0109f058864e1ef7cf1f4d7f520e9_5449a1059c7a4d96a058106f567b23f1.png


可见转换回来的系统函数与原始的系统函数一样。


将系统函数转换为状态方程以后就可以进行卡尔曼滤波啦!


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