这篇文章是 Chris Rackauckas 的帖子的翻译和总结，但是并不按照原文完全翻译，有个人的取舍，可以的话建议观看原文。原文地址是： PSA: How to help yourself debug differential equation solving issues。
1/ 如何自己 debug 微分方程求解的问题
Debug 微分方程求解问题基本上都是在做同样的一件事，所以这篇文章是一篇总结。如果想要查看有关特殊问题的更多信息，可以去看 DifferentialEquations.jl 文档的 FAQ 一节。
2/ 如何调试微分方程求解器发散？
dt <= dtmin. Aborting. There is either an error in your model specification or the true solution is unstable.NaN dt detected. Likely a NaN value in the state, parameters, or derivative value caused this outcome.
Instability detected. Aborting
如果发现自己遇到了微分方程求解器出现了问题，第一件事情就是降低精度，或者说降低容忍度（tolerance）。很多情况下，降低容忍度可以提高稳定性。可以试试让 abstol=1e-10,reltol=1e-10 看看是不是容忍度高的问题。
如果这个方法没有用，试试使用更稳定的求解器，例如一些对于刚性方程（stiff equations）的求解器：TRBDF2(),KenCarp4() 或者 QNDF().
如果都没有用，问题可能出现在模型上。如果怀疑 Julia 求解器有问题，有一个办法去证明：使用非 Julia 的求解器。只要简单地把 solve(prob,Tsit5()) 改为 solve(prob,CVODE_BDF()) 就会使用经典 Sundials C/C++ 库。
- Sundials.jl，C/C++ SUNDIALS 库的封装，包括
CVODE_Adams,CVODE_BDF,IDA和ARKODE. - ODEInterfaceDiffEq.jl，经典 Hairer Fortran 代码的封装，例如
dorpi5,dop853,radau,rodas等等. - LSODE.jl，经典
lsoda算法的封装. - MATLABDiffEq.jl，MATLAB ODE 求解器
ode45,ode15s等的封装. - SciPyDiffEq.jl，SciPy 的
odeint(LSODA) 和其它方法（LSODE 等）的封装. - deSolveDiffEq.jl，R 语言库常用方法的封装.
注意：这些求解器包没有默认安装，在使用之前需要先安装包，例如在使用 Sundials 求解器之前通过 ]add Sundials; using Sundials 来安装先
如果你的模型在所有主流求解器上都失败了，包括从 C/C++ 和 Fortran 调用的所有主流求解器，那么问题不在于求解器，而在于你的模型。用所有语言创建的每个求解器都是不正确的，而不是你几个小时前编写的代码的可能性非常小。
以下是常见问题列表：
- 仔细逐项地检查自己的模型。看看模型里面是否有哪一些项会无限增大的，哪一项的导数会变得非常大，为什么变大了，变大是不是正常的。
- 仔细检查模型的假设。记住导数并不一定随着 u 变为零而变为负数。
u' = -sqrt(u)在有限时间内达到零，仅仅只是正在建模的系统有一个属性（为正数），但是并不意味着模型实际上在求解的时候也具有这个属性。可以去查一查导致与该属性相反的项，看看导数的值是不是正确。 仔细检查是不是违反了 ODE 假设。ODE 右侧的
f函数应该始终提供相同的结果，即u' = f(u,p,t)需要唯一定义，否则一定无法求解。- 如果
f函数出现了随机性，求解器的自适应性会认为 ODE 正在以高的错误率求解（因为导数不断变化），为了让随机性降低到零，这样就会达到dtmin。如果确实需要随机性，用 SDE 或者 RODE 求解器）； - 如果
f函数会修改 u，那么用不同的步长调用f会是不确定的，这样也会导致求解失败。如果确实需要这么做，可以使用 callback； - 如果
f函数缓存上一步的值，意味着如果改变了 dt，那么就是在改变f，这样u'也不再被定义了。自适应性 ODE 求解器不一定固定地往前求解，有可能会先尝试一个大的步长，然后再选择小的步长；
- 如果
3/ 性能表现的问题
以下的一些网址是在讲如何以最好的表现去求解微分方程：
Optimizing Serial Code in Julia 1: Memory Models, Mutation, and Vectorization
如果你已经阅读了这些教程，但仍然有性能问题，或者有清晰的问题要问，可以去给 ChrisRackauckas 提问，可以选择在 GitHub 上的 DifferentialEquations.jl 上提交 issue。但是在提问之前请查看这些教程，因为其中涵盖了人们需要的大部分内容！
