探究世界的成因，在自然界中存在很多自然现象、事件，而这些现象都由某些规律支配着。而要理解支配自然界的神秘力量，首先必须将真理从纯粹的迷信中剥离出来。而要把真理从中剥离出来，需要做一些预备性的工作：找到如何从数学上将真理和迷信分开的方法，也即需要某种程序来鉴别一个给定的数学命题是否为真。古希腊大哲学家泰勒斯（Thales）和毕达哥拉斯引入了数学证明的思想后，理解数学-从而理解科学本身的第一块基石才得以确立。也即是什么的问题。也即由此引入公理和定理的概念。公理是大家都公认的、同时正确自明的。而定理则是从公理出发，通过公理推断出来的正确的命题。
由此出现的欧几里得几何和柏拉图的数学世界（理想化的数学世界），由此产生的数学模型的概念。柏拉图式的存在就是一种客观的存在。客观存在的数学观念必须被当作与时间无关的对象，而不能认为是在第一次为人类认识时它们才获得了自身的存在性。
存在的三个世界：心智世界、柏拉图数学世界、物理世界
假如没有对数学概念的一定程度的掌握，人们是绝不可能恰当理解现代科学那异乎寻常的有效性。
相信数学与真善美同在。
在开始毕达哥拉斯定理的出现，也即我们常说的勾股定理：
任何直角三角形的斜边长C的平方等于另两边a和b的长的平方。
毕达哥拉斯灾难，产生了无理数。数的诞生从正整数开始，但是由于古希腊人不得不接受一个事实，如果欧几里得几何概念能够得到健康的发展，有理数显然是不足的。从而进一步引入了无理数。从而将数扩充到了实数的概念上。
自然数是那些我们用0，1，2，3，4，....来指称的对象，它们是非负整数。由于需要引入纯数学，必然需要进行一个抽象的集合描述，从某种意义上讲，它与物理世界的具体结构无关。引入自然数的方式由康托尔提出，由冯诺依曼改进。也即我们经常看到的数的序列。
但是在物理上，仅仅有这些还是不够的，从而产生了复数的概念。比如三次方程可用采用复数进行解答。
数进行运算时，如果是无穷项，级数便可产生发散和收敛的特性。
同时复数可用在复平面上进行表示。一般认为，对于任何幂级数，在复平面上总存在以原点o为中心的某个圆，称为收敛圆。也即在圆内，则表示收敛，否则在圆外则发散。
从平面中进一步可以看到坐标、对称、极坐标的概念。同时复数和三角函数存在联系。
微分：涉及速度、加速度、斜率和曲线、曲面的曲率等运算。它们反映的是事物的变化的快慢，是一些根据单个点最小邻域的结构和性态来局域定义的量。
积分：涉及面积和体积、引力中心和其他一些涉及总体性质的量的计算。它们反映的是某种形式总量的量度，这些量不局限于单个点的最小邻域或局域的性态。
数学分析可以追溯到公元前3世纪的阿基米德，称为演算。
对于欧拉等17-18世纪的数学家来说，函数是指那种能够以显式写出来的关系式或者幂级数。我们称之为映射。
微积分的推算产生的比如，我们看到的泰勒公式或者麦克劳林公式，进一步产生我们所说的幂级数，可以扩充到复变函数。
本文摘抄自<通向实在之路>
