二进制中1的个数（上）

前言

有一个整数，想知道它的二进制表示中有多个1，你会怎么做？本文将带大家深入学习下二进制以及它的各种运算，一步步的研究出这个问题的解决方案，欢迎各位感兴趣的开发者阅读本文。

前置知识

在解决这个问题之前，我们需要先了解下什么是二进制。

二进制

在计算机的世界里，只有0和1，也就是二进制。

符号数

在二进制中，数被分为有符号数和无符号数。

对于有符号数而言，符号的正、负机器是无法识别的，但由于“正、负”恰好是两种截然不同的状态，如果用“0”表示正，用“1”表示“负”，这样符号也被数字化了，并且规定将它放在有效数字的前面，即组成了有符号数。

因此，在二进制中使用最高位来表示符号。

• 最高位是0，表示正数。
• 最高位是1，表示负数。

二进制的最高位就是其第一位，例如：10000001100，它的最高位就是1。

对于无符号数而言，它表示的数其范围都是正数，所有位都用于表示数的大小。

有符号数的性质

对于有符号数而言，它有6个性质：

• 二进制的最高位是符号位：0表示正数，1表示负数
• 正数的原码、反码、补码都一样
• 负数的反码 = 它的原码符号位不变，其它位取反（0 -> 1; 1 -> 0）
• 0的反码、补码都是0
• 负数的补码 = 它的反码 + 1
• 在计算机运算的时候，都是以补码的方式来运算的

原码、反码、补码

上述性质中，我们提到了原码、反码、补码，接下来我们来学习下他们究竟是什么样的数字。

• 原码，分为两种情况：

• 一个正数，按照绝对值大小转换成的二进制数
• 一个负数，按照绝对值大小转换成的二进制数，然后最高位补1

• 反码，也分为两种情况：

• 一个正数，它的反码与它的原码是相同的
• 一个负数，它的反码为该数的原码除符号位外，各位取反

• 补码，也分为两种情况：

• 一个正数，它的补码与它的原码也是相同的
• 一个负数，它的补码为对该数的原码除符号位外各自取反后，在最后一位加1

进制转换

我们要对二进制进行运算，需要先将十进制数转为二进制，因此我们需要先学习下十进制转二进制的方法。

十进制转二进制

将十进制转为二进制主要分为三种情况：

• 正整数转二进制

计算规则为：除二取余(直至商为0)，然后倒序排列，高位补零。

知道规则后，我们举个例子，求一下80所对应的二进制数，如下图所示：

                               image-20211025213251590

计算机内部表示数的字节单位是定长的（字长），如：8、16、32、64位。因此当计算出来的二进制的位数不够时，需要在高位进行补0。

上述例子中，我们将80转为二进制数后，它的值为：1010000，字长为7，如果计算机的字长是64位，那么标准写法就是在它的最高位前面补57个0，我们用计算器来验证下，如下所示：

                                     image-20211006101942620

• 负整数转二进制
• 
  

在计算机中，负数是以原码的补码形式进行表达的，通过前面的学习，我们知道了想求负数的补码，就得先求出它的原码。

我们以-80为例来计算下它的二进制码，步骤如所示：

1. 求原码，如下图所示：

                              image-20211025213338223

2. 求补码，如下图所示：

                               image-20211014233217872

至此，我们得到了-80的二进制码：10110000

在正整数转二进制部分，我们讲了计算机是固定字长的，当计算出来的二进制位数不够时，正整数会在高位补0，负整数则会在高位补1。

我们用计算器来验证下我们计算出来的-80的二进制码是否正确，如下所示：

                               image-20211014233921705

• 小数转二进制
• 
  

在二进制中，小数被称为浮点数，我们在将十进制小数转换为二进制小数时，需要以小数点为界限，将其拆分为整数部分和小数部分。

整数部分转为二进制，我们在前面已经讲过了（即除2取余）

小数部分转为二进制的方法为：乘2取整数部分，继续用小数部分乘2，直至小数部分为0（大多数情况下不会为0，需要确立精度）

我们以80.13为例来计算下它的二进制码，如下图所示：

                              image-20211026003224757

计算机中用二进制来表示小数时，大部分十进制小数都不能精确的用二进制来表示，当表示这种小数时，最大精确多少位，取决于计算机的字长。

上图中，我们计算出了80.13的二进制码为01010000.00100，我们精确到了小数点后5位。

我们用计算器来验证下是否正确。

                                    image-20211026004819315

二进制转十进制

同样的，二进制转十进制也分为三种情况：

• 正整数转十进制
• 
  

从二进制的最低位开始，给每一位标上序号，取出不为0位置的数的序号，将其作为2的次方进行计算，最后将结果相加。

我们以01010000为例，求一下它的十进制数，如下图所示：

                                      image-20211028233947922

• 负整数转十进制
• 
  

前面我们学习了十进制负整数转二进制的方法，那么二进制转十进制，则需要倒着来算，我们以10110000为例，步骤如下所示：

1. 根据补码求原码

                              image-20211029001747628

2. 除去符号位，对其他位按照正整数转二进制的规则进行计算，最后补上负号，如下图所示：

                                image-20211029002527261

• 小数转十进制
• 
  

给小数点后每一位标上负序号（从-1开始），取出不为0位置的数的序号，将其作为2的次方进行计算，最后将结果相加。

我们以01010000.00100为例，求出它的十进制数，如下图所示：

                                 image-20211029231026693

经过前面的学习，我们知道了十进制小数转二进制时，大多数情况是无法得到精确值的，我们用80.13举例时，精确到了小数点后5位。

同样的，我们将二进制小数转换为十进制数时，也是无法得到准确值的，最终值也取决于精度，此处我们保留2位小数，四舍五入后就为80.13。